Theorem imasringf1 13697

Description: The image of a ring under an injection is a ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasringf1.u	|- U = ( F "s R )
imasringf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasringf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Proof of Theorem imasringf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasringf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasringf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2196	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		eqid 2196	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8		f1f1orn 5518	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
10		f1ofo 5514	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -onto-> ran F )
12	9	f1ocpbl 13013	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
13	9	f1ocpbl 13013	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
14		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
15	2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14	imasring 13696	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> ( U e. Ring /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` U ) ) )
16	15	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ran crn 4665   -1-1->wf1 5256   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781   "_s cimas 13001   1rcur 13591   Ringcrg 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-iimas 13004  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630

This theorem is referenced by: (None)