Theorem imasringf1 14159

Description: The image of a ring under an injection is a ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasringf1.u	|- U = ( F "s R )
imasringf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasringf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Proof of Theorem imasringf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasringf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasringf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8		f1f1orn 5603	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
10		f1ofo 5599	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -onto-> ran F )
12	9	f1ocpbl 13474	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
13	9	f1ocpbl 13474	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
14		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
15	2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14	imasring 14158	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> ( U e. Ring /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` U ) ) )
16	15	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ran crn 4732   -1-1->wf1 5330   -onto->wfo 5331   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241   "_s cimas 13462   1rcur 14053   Ringcrg 14090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-iimas 13465  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092

This theorem is referenced by: (None)