Theorem imasringf1 13440

Description: The image of a ring under an injection is a ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasringf1.u	|- U = ( F "s R )
imasringf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasringf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Proof of Theorem imasringf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasringf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasringf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2189	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2189	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		eqid 2189	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8		f1f1orn 5494	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
10		f1ofo 5490	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -onto-> ran F )
12	9	f1ocpbl 12799	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
13	9	f1ocpbl 12799	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
14		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
15	2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14	imasring 13439	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> ( U e. Ring /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` U ) ) )
16	15	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ran crn 4648   -1-1->wf1 5235   -onto->wfo 5236   -1-1-onto->wf1o 5237   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12523   +g cplusg 12600   .rcmulr 12601   "_s cimas 12787   1rcur 13338   Ringcrg 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-0g 12774  df-iimas 12790  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-ring 13377

This theorem is referenced by: (None)