Theorem imasringf1 13860

Description: The image of a ring under an injection is a ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasringf1.u	|- U = ( F "s R )
imasringf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasringf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Proof of Theorem imasringf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasringf1.u	. . . 4 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasringf1.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2205	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2205	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		eqid 2205	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8		f1f1orn 5535	. . . . 5 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
10		f1ofo 5531	. . . 4 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> F : V -onto-> ran F )
12	9	f1ocpbl 13176	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
13	9	f1ocpbl 13176	. . 3 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
14		simpr 110	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
15	2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14	imasring 13859	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> ( U e. Ring /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` U ) ) )
16	15	simpld 112	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Ring ) -> U e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ran crn 4677   -1-1->wf1 5269   -onto->wfo 5270   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   .rcmulr 12943   "_s cimas 13164   1rcur 13754   Ringcrg 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-0g 13123  df-iimas 13167  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793

This theorem is referenced by: (None)