Theorem imasrngf1 13328

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	|- U = ( F "s R )
imasrngf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U e. Rng )

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasrngf1.v	. . 3 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2189	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2189	. 2 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		f1f1orn 5491	. . . 4 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9		f1ofo 5487	. . 3 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> F : V -onto-> ran F )
11	8	f1ocpbl 12791	. 2 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
12	8	f1ocpbl 12791	. 2 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
13		simpr 110	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> R e. Rng )
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 13327	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ran crn 4645   -1-1->wf1 5232   -onto->wfo 5233   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   .rcmulr 12593   "_s cimas 12779  Rngcrng 13303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-0g 12766  df-iimas 12782  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-cmn 13242  df-abl 13243  df-mgp 13292  df-rng 13304

This theorem is referenced by: (None)