Theorem imasrngf1 14234

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	|- U = ( F "s R )
imasrngf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U e. Rng )

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasrngf1.v	. . 3 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2238	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2238	. 2 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		f1f1orn 5648	. . . 4 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9		f1ofo 5644	. . 3 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> F : V -onto-> ran F )
11	8	f1ocpbl 13612	. 2 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
12	8	f1ocpbl 13612	. 2 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
13		simpr 110	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> R e. Rng )
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 14233	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ran crn 4773   -1-1->wf1 5372   -onto->wfo 5373   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   .rcmulr 13412   "_s cimas 13602  Rngcrng 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-0g 13592  df-iimas 13604  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-cmn 14069  df-abl 14070  df-mgp 14198  df-rng 14210

This theorem is referenced by: (None)