Theorem imasrngf1 13719

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	|- U = ( F "s R )
imasrngf1.v	|- V = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	|- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U e. Rng )

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 |- U = ( F "s R )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U = ( F "s R ) )
3		imasrngf1.v	. . 3 |- V = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> V = ( Base ` R ) )
5		eqid 2205	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2205	. 2 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		f1f1orn 5533	. . . 4 |- ( F : V -1-1-> B -> F : V -1-1-onto-> ran F )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> F : V -1-1-onto-> ran F )
9		f1ofo 5529	. . 3 |- ( F : V -1-1-onto-> ran F -> F : V -onto-> ran F )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> F : V -onto-> ran F )
11	8	f1ocpbl 13143	. 2 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
12	8	f1ocpbl 13143	. 2 |- ( ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( .r ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) ) )
13		simpr 110	. 2 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> R e. Rng )
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 13718	1 |- ( ( F : V -1-1-> B /\ R e. Rng ) -> U e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ran crn 4676   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   "_s cimas 13131  Rngcrng 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-iimas 13134  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-rng 13695

This theorem is referenced by: (None)