Theorem imasrngf1 13794

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasrngf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasrngf1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2206	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2206	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		f1f1orn 5545	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
9		f1ofo 5541	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
11	8	f1ocpbl 13218	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
12	8	f1ocpbl 13218	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))))
13		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑅 ∈ Rng)
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 13793	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ran crn 4684  –1-1→wf1 5277  –onto→wfo 5278  –1-1-onto→wf1o 5279  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985   “_s cimas 13206  Rngcrng 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-iimas 13209  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-cmn 13697  df-abl 13698  df-mgp 13758  df-rng 13770

This theorem is referenced by: (None)