Theorem imasrngf1 14101

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasrngf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasrngf1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2232	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2232	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		f1f1orn 5625	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
9		f1ofo 5621	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
11	8	f1ocpbl 13524	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
12	8	f1ocpbl 13524	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))))
13		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑅 ∈ Rng)
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 14100	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ran crn 4750  –1-1→wf1 5349  –onto→wfo 5350  –1-1-onto→wf1o 5351  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  ._rcmulr 13291   “_s cimas 13512  Rngcrng 14076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-iimas 13515  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-cmn 14003  df-abl 14004  df-mgp 14065  df-rng 14077

This theorem is referenced by: (None)