Theorem imasrngf1 13661

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasrngf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasrngf1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2204	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2204	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		f1f1orn 5532	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
9		f1ofo 5528	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
11	8	f1ocpbl 13085	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
12	8	f1ocpbl 13085	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))))
13		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑅 ∈ Rng)
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 13660	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ran crn 4675  –1-1→wf1 5267  –onto→wfo 5268  –1-1-onto→wf1o 5269  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  ._rcmulr 12852   “_s cimas 13073  Rngcrng 13636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-0g 13032  df-iimas 13076  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-cmn 13564  df-abl 13565  df-mgp 13625  df-rng 13637

This theorem is referenced by: (None)