Theorem imasrngf1 13453

Description: The image of a non-unital ring under an injection is a non-unital ring. (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasrngf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasrngf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasrngf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Proof of Theorem imasrngf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasrngf1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasrngf1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2193	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2193	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		f1f1orn 5511	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
9		f1ofo 5507	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
11	8	f1ocpbl 12894	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
12	8	f1ocpbl 12894	. 2 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))))
13		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑅 ∈ Rng)
14	2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13	imasrng 13452	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Rng) → 𝑈 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ran crn 4660  –1-1→wf1 5251  –onto→wfo 5252  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696   “_s cimas 12882  Rngcrng 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429

This theorem is referenced by: (None)