ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsbased GIF version

Theorem ipsbased 12117
Description: The base set of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
ipsstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
ipsstrd.p (𝜑+𝑊)
ipsstrd.r (𝜑×𝑋)
ipsstrd.s (𝜑𝑆𝑌)
ipsstrd.x (𝜑·𝑄)
ipsstrd.i (𝜑𝐼𝑍)
Assertion
Ref Expression
ipsbased (𝜑𝐵 = (Base‘𝐴))

Proof of Theorem ipsbased
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . . 3 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2 ipsstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
3 ipsstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
4 ipsstrd.r . . 3 (𝜑×𝑋)
5 ipsstrd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑌)
6 ipsstrd.x . . 3 (𝜑·𝑄)
7 ipsstrd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ipsstrd 12116 . 2 (𝜑𝐴 Struct ⟨1, 8⟩)
9 basendxnn 12030 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ ℕ
10 opexg 4150 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
119, 2, 10sylancr 410 . . . 4 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
12 tpid1g 3635 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩})
13 elun1 3243 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1411, 12, 133syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}))
1514, 1eleqtrrdi 2233 . 2 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐴)
168, 2, 15opelstrbas 12072 1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  cun 3069  {ctp 3529  cop 3530  cfv 5123  1c1 7635  cn 8734  8c8 8791  ndxcnx 11972  Basecbs 11975  +gcplusg 12037  .rcmulr 12038  Scalarcsca 12040   ·𝑠 cvsca 12041  ·𝑖cip 12042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-5 8796  df-6 8797  df-7 8798  df-8 8799  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-fz 9805  df-struct 11977  df-ndx 11978  df-slot 11979  df-base 11981  df-plusg 12050  df-mulr 12051  df-sca 12053  df-vsca 12054  df-ip 12055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator