Theorem islss4 13658

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	|- F = (Scalar ` W )
islss4.b	|- B = ( Base ` F )
islss4.v	|- V = ( Base ` W )
islss4.t	|- .x. = ( .s ` W )
islss4.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islss4	|- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   F, a, b   W, a, b   B, a, b   V, a, b   .x. , a, b   S, a, b   U, a, b

Proof of Theorem islss4

Dummy variables c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lsssubg 13653	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
3		islss4.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		islss4.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		islss4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 13651	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( a e. B /\ b e. U ) ) -> ( a .x. b ) e. U )
7	6	ralrimivva 2571	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U )
8	2, 7	jca 306	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) )
9		islss4.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
10	9	subgss 13078	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U C_ V )
11	10	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U C_ V )
12		eqid 2188	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
13	12	subg0cl 13086	. . . . 5 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( 0g ` W ) e. U )
14		elex2 2767	. . . . 5 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. j j e. U )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> E. j j e. U )
16	15	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> E. j j e. U )
17		eqid 2188	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
18	17	subgcl 13088	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (SubGrp ` W ) /\ ( a .x. b ) e. U /\ c e. U ) -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
19	18	3exp 1203	. . . . . . . 8 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
21	20	ralrimdv 2568	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
22	21	ralimdv 2557	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
23	22	ralimdv 2557	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
24	23	impr 379	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islssmg 13634	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
26	25	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
27	11, 16, 24, 26	mpbir3and 1181	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U e. S )
28	8, 27	impbida 596	1 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2159   A.wral 2467   C_ wss 3143   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   Basecbs 12479   +g cplusg 12554  Scalarcsca 12557   .scvsca 12558   0gc0g 12726  SubGrpcsubg 13071   LModclmod 13563   LSubSpclss 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-iress 12487  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-sbg 12915  df-subg 13074  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565  df-lssm 13629

This theorem is referenced by: (None)