Theorem islss4 14395

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	|- F = (Scalar ` W )
islss4.b	|- B = ( Base ` F )
islss4.v	|- V = ( Base ` W )
islss4.t	|- .x. = ( .s ` W )
islss4.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islss4	|- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   F, a, b   W, a, b   B, a, b   V, a, b   .x. , a, b   S, a, b   U, a, b

Proof of Theorem islss4

Dummy variables c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lsssubg 14390	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
3		islss4.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		islss4.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		islss4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 14388	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( a e. B /\ b e. U ) ) -> ( a .x. b ) e. U )
7	6	ralrimivva 2614	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U )
8	2, 7	jca 306	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) )
9		islss4.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
10	9	subgss 13760	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U C_ V )
11	10	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U C_ V )
12		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
13	12	subg0cl 13768	. . . . 5 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( 0g ` W ) e. U )
14		elex2 2819	. . . . 5 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. j j e. U )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> E. j j e. U )
16	15	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> E. j j e. U )
17		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
18	17	subgcl 13770	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (SubGrp ` W ) /\ ( a .x. b ) e. U /\ c e. U ) -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
19	18	3exp 1228	. . . . . . . 8 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
21	20	ralrimdv 2611	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
22	21	ralimdv 2600	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
23	22	ralimdv 2600	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
24	23	impr 379	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islssmg 14371	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
26	25	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
27	11, 16, 24, 26	mpbir3and 1206	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U e. S )
28	8, 27	impbida 600	1 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   0gc0g 13338  SubGrpcsubg 13753   LModclmod 14300   LSubSpclss 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-subg 13756  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302  df-lssm 14366

This theorem is referenced by: (None)