Theorem islss4 13474

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	|- F = (Scalar ` W )
islss4.b	|- B = ( Base ` F )
islss4.v	|- V = ( Base ` W )
islss4.t	|- .x. = ( .s ` W )
islss4.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islss4	|- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   F, a, b   W, a, b   B, a, b   V, a, b   .x. , a, b   S, a, b   U, a, b

Proof of Theorem islss4

Dummy variables c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lsssubg 13469	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
3		islss4.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		islss4.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		islss4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 13467	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( a e. B /\ b e. U ) ) -> ( a .x. b ) e. U )
7	6	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U )
8	2, 7	jca 306	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) )
9		islss4.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
10	9	subgss 13039	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U C_ V )
11	10	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U C_ V )
12		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
13	12	subg0cl 13047	. . . . 5 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( 0g ` W ) e. U )
14		elex2 2755	. . . . 5 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. j j e. U )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> E. j j e. U )
16	15	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> E. j j e. U )
17		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
18	17	subgcl 13049	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (SubGrp ` W ) /\ ( a .x. b ) e. U /\ c e. U ) -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
19	18	3exp 1202	. . . . . . . 8 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
21	20	ralrimdv 2556	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
22	21	ralimdv 2545	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
23	22	ralimdv 2545	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
24	23	impr 379	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islssm 13450	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
26	25	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
27	11, 16, 24, 26	mpbir3and 1180	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U e. S )
28	8, 27	impbida 596	1 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   0gc0g 12710  SubGrpcsubg 13032   LModclmod 13382   LSubSpclss 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-subg 13035  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448

This theorem is referenced by: (None)