Theorem islss4 14719

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	|- F = (Scalar ` W )
islss4.b	|- B = ( Base ` F )
islss4.v	|- V = ( Base ` W )
islss4.t	|- .x. = ( .s ` W )
islss4.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islss4	|- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   F, a, b   W, a, b   B, a, b   V, a, b   .x. , a, b   S, a, b   U, a, b

Proof of Theorem islss4

Dummy variables c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lsssubg 14714	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
3		islss4.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		islss4.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		islss4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 14712	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( a e. B /\ b e. U ) ) -> ( a .x. b ) e. U )
7	6	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U )
8	2, 7	jca 306	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) )
9		islss4.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
10	9	subgss 13977	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U C_ V )
11	10	ad2antrl 494	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U C_ V )
12		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
13	12	subg0cl 13985	. . . . 5 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( 0g ` W ) e. U )
14		elex2 2838	. . . . 5 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. j j e. U )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> E. j j e. U )
16	15	ad2antrl 494	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> E. j j e. U )
17		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
18	17	subgcl 13987	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (SubGrp ` W ) /\ ( a .x. b ) e. U /\ c e. U ) -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
19	18	3exp 1233	. . . . . . . 8 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
21	20	ralrimdv 2629	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
22	21	ralimdv 2618	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
23	22	ralimdv 2618	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
24	23	impr 379	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islssmg 14695	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
26	25	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
27	11, 16, 24, 26	mpbir3and 1211	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U e. S )
28	8, 27	impbida 604	1 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   0gc0g 13610  SubGrpcsubg 13970   LModclmod 14623   LSubSpclss 14689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-subg 13973  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-lmod 14625  df-lssm 14690

This theorem is used by:  issubassa2  15035