Theorem islss4 14346

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	|- F = (Scalar ` W )
islss4.b	|- B = ( Base ` F )
islss4.v	|- V = ( Base ` W )
islss4.t	|- .x. = ( .s ` W )
islss4.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islss4	|- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   F, a, b   W, a, b   B, a, b   V, a, b   .x. , a, b   S, a, b   U, a, b

Proof of Theorem islss4

Dummy variables c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lsssubg 14341	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
3		islss4.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4		islss4.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
5		islss4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 14339	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( a e. B /\ b e. U ) ) -> ( a .x. b ) e. U )
7	6	ralrimivva 2612	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U )
8	2, 7	jca 306	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) )
9		islss4.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
10	9	subgss 13711	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U C_ V )
11	10	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U C_ V )
12		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
13	12	subg0cl 13719	. . . . 5 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( 0g ` W ) e. U )
14		elex2 2816	. . . . 5 |- ( ( 0g ` W ) e. U -> E. j j e. U )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> E. j j e. U )
16	15	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> E. j j e. U )
17		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
18	17	subgcl 13721	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (SubGrp ` W ) /\ ( a .x. b ) e. U /\ c e. U ) -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
19	18	3exp 1226	. . . . . . . 8 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> ( c e. U -> ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
21	20	ralrimdv 2609	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( a .x. b ) e. U -> A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
22	21	ralimdv 2598	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
23	22	ralimdv 2598	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) )
24	23	impr 379	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U )
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islssmg 14322	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
26	25	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. a e. B A. b e. U A. c e. U ( ( a .x. b ) ( +g ` W ) c ) e. U ) ) )
27	11, 16, 24, 26	mpbir3and 1204	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) -> U e. S )
28	8, 27	impbida 598	1 |- ( W e. LMod -> ( U e. S <-> ( U e. (SubGrp ` W ) /\ A. a e. B A. b e. U ( a .x. b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Scalarcsca 13113   .scvsca 13114   0gc0g 13289  SubGrpcsubg 13704   LModclmod 14251   LSubSpclss 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-subg 13707  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-lmod 14253  df-lssm 14317

This theorem is referenced by: (None)