Theorem issubgrpd2 13767

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubgrpd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubgrpd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubgrpd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubgrpd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubgrpd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubgrpd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubgrpd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
2		issubgrpd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
3		elex2 2817	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐷 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷)
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
6	5	oveqd 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
9	8	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
10	7, 9	eqeltrrd 2307	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
11	10	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
13	11, 12	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
14	13	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
15		issubgrpd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
16		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
17		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼)
18		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐼) = (invg‘𝐼)
19	16, 17, 18	issubg2m 13766	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
20	15, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1204	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072   ↾_s cress 13073  +_gcplusg 13150  0_gc0g 13329  Grpcgrp 13573  inv_gcminusg 13574  SubGrpcsubg 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-subg 13747

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13768  issubrgd  14456