Theorem issubgrpd2 13444

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubgrpd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubgrpd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubgrpd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubgrpd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubgrpd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubgrpd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubgrpd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
2		issubgrpd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
3		elex2 2787	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐷 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷)
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
6	5	oveqd 5951	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
9	8	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
10	7, 9	eqeltrrd 2282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
11	10	ralrimiva 2578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
13	11, 12	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
14	13	ralrimiva 2578	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
15		issubgrpd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
16		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
17		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼)
18		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐼) = (invg‘𝐼)
19	16, 17, 18	issubg2m 13443	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
20	15, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1182	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   ⊆ wss 3165  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751   ↾_s cress 12752  +_gcplusg 12828  0_gc0g 13006  Grpcgrp 13250  inv_gcminusg 13251  SubGrpcsubg 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-subg 13424

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13445  issubrgd  14132