Theorem issubgrpd2 13260

Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubgrpd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubgrpd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubgrpd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubgrpd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubgrpd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubgrpd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubgrpd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
issubgrpd2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubgrpd2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubgrpd.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
2		issubgrpd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
3		elex2 2776	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐷 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷)
5		issubgrpd.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
6	5	oveqd 5935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐼)𝑦))
8		issubgrpd.acl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
9	8	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
10	7, 9	eqeltrrd 2271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
11	10	ralrimiva 2567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
12		issubgrpd.ncl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
13	11, 12	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
14	13	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))
15		issubgrpd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
16		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
17		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼)
18		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐼) = (invg‘𝐼)
19	16, 17, 18	issubg2m 13259	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Grp → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
20	15, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ↔ (𝐷 ⊆ (Base‘𝐼) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(+g‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷 ∧ ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷))))
21	1, 4, 14, 20	mpbir3and 1182	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073  SubGrpcsubg 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-subg 13240

This theorem is referenced by:  issubgrpd  13261  issubrgd  13948