Theorem issubm2 13703

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	|- B = ( Base ` M )
issubm2.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm2.h	|- H = ( M ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubm2	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
2		issubm2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
4	1, 2, 3	issubm 13702	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
5		issubm2.h	. . . . . . 7 |- H = ( M ↾s S )
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 13672	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
7	6	bicomd 141	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
8	7	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( S C_ B /\ .0. e. S ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
9	8	pm5.32da 452	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) ) )
10		df-3an 1007	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
11		df-3an 1007	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )
13	4, 12	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3213   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   ↾_s cress 13230   +g cplusg 13307   0gc0g 13486   Mndcmnd 13646  SubMndcsubmnd 13688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-submnd 13690

This theorem is referenced by:  submmnd  13710  subsubm  13713  unitsubm  14281  subrgsubm  14396