Theorem issubm2 13305

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	|- B = ( Base ` M )
issubm2.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm2.h	|- H = ( M ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubm2	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
2		issubm2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
3		eqid 2205	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
4	1, 2, 3	issubm 13304	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
5		issubm2.h	. . . . . . 7 |- H = ( M ↾s S )
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 13274	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
7	6	bicomd 141	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
8	7	3expb 1207	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( S C_ B /\ .0. e. S ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
9	8	pm5.32da 452	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) ) )
10		df-3an 983	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
11		df-3an 983	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )
13	4, 12	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   ↾_s cress 12833   +g cplusg 12909   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248  SubMndcsubmnd 13290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-submnd 13292

This theorem is referenced by:  submmnd  13312  subsubm  13315  unitsubm  13881  subrgsubm  13996