Theorem issubm2 12864

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	|- B = ( Base ` M )
issubm2.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm2.h	|- H = ( M ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubm2	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
2		issubm2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
3		eqid 2177	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
4	1, 2, 3	issubm 12863	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
5		issubm2.h	. . . . . . 7 |- H = ( M ↾s S )
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 12843	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
7	6	bicomd 141	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
8	7	3expb 1204	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( S C_ B /\ .0. e. S ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
9	8	pm5.32da 452	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) ) )
10		df-3an 980	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
11		df-3an 980	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )
13	4, 12	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3130   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Basecbs 12462   ↾_s cress 12463   +g cplusg 12536   0gc0g 12705   Mndcmnd 12817  SubMndcsubmnd 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-iress 12470  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-submnd 12852

This theorem is referenced by:  unitsubm  13288  subrgsubm  13355