Theorem issubm2 13048

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	|- B = ( Base ` M )
issubm2.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm2.h	|- H = ( M ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubm2	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
2		issubm2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
3		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
4	1, 2, 3	issubm 13047	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
5		issubm2.h	. . . . . . 7 |- H = ( M ↾s S )
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 13026	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
7	6	bicomd 141	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
8	7	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( S C_ B /\ .0. e. S ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
9	8	pm5.32da 452	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) ) )
10		df-3an 982	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
11		df-3an 982	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )
13	4, 12	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3154   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000  SubMndcsubmnd 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-submnd 13035

This theorem is referenced by:  submmnd  13055  subsubm  13058  unitsubm  13618  subrgsubm  13733