Theorem issubm2 13636

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	|- B = ( Base ` M )
issubm2.z	|- .0. = ( 0g ` M )
issubm2.h	|- H = ( M ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
issubm2	|- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 |- B = ( Base ` M )
2		issubm2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` M )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
4	1, 2, 3	issubm 13635	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
5		issubm2.h	. . . . . . 7 |- H = ( M ↾s S )
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 13605	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( H e. Mnd <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
7	6	bicomd 141	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B /\ .0. e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
8	7	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ ( S C_ B /\ .0. e. S ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mnd ) )
9	8	pm5.32da 452	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) ) )
10		df-3an 1007	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
11		df-3an 1007	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) <-> ( ( S C_ B /\ .0. e. S ) /\ H e. Mnd ) )
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( M e. Mnd -> ( ( S C_ B /\ .0. e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )
13	4, 12	bitrd 188	1 |- ( M e. Mnd -> ( S e. (SubMnd ` M ) <-> ( S C_ B /\ .0. e. S /\ H e. Mnd ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   ↾_s cress 13163   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Mndcmnd 13579  SubMndcsubmnd 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-submnd 13623

This theorem is referenced by:  submmnd  13643  subsubm  13646  unitsubm  14214  subrgsubm  14329