Theorem unitsubm 13219

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	|- U = (Unit ` R )
unitsubm.2	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	|- ( R e. Ring -> U e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2178	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		unitsubm.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( R e. Ring -> U = (Unit ` R ) )
4		ringsrg 13155	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
5	1, 3, 4	unitssd 13209	. 2 |- ( R e. Ring -> U C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2177	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
7	2, 6	1unit 13207	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. U )
8		unitsubm.2	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
9	8	oveq1i 5882	. . . 4 |- ( M ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
10	2, 9	unitgrp 13216	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( M ↾s U ) e. Grp )
11	10	grpmndd 12821	. 2 |- ( R e. Ring -> ( M ↾s U ) e. Mnd )
12	8	ringmgp 13116	. . . 4 |- ( R e. Ring -> M e. Mnd )
13		eqid 2177	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
14		eqid 2177	. . . . 5 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
15		eqid 2177	. . . . 5 |- ( M ↾s U ) = ( M ↾s U )
16	13, 14, 15	issubm2 12796	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( U e. (SubMnd ` M ) <-> ( U C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. U /\ ( M ↾s U ) e. Mnd ) ) )
17	12, 16	syl 14	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( U e. (SubMnd ` M ) <-> ( U C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. U /\ ( M ↾s U ) e. Mnd ) ) )
18		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
19	8, 18	mgpbasg 13067	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` M ) )
20	19	sseq2d 3185	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( U C_ ( Base ` R ) <-> U C_ ( Base ` M ) ) )
21	8, 6	ringidvalg 13075	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` M ) )
22	21	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) e. U <-> ( 0g ` M ) e. U ) )
23	20, 22	3anbi12d 1313	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( U C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. U /\ ( M ↾s U ) e. Mnd ) <-> ( U C_ ( Base ` M ) /\ ( 0g ` M ) e. U /\ ( M ↾s U ) e. Mnd ) ) )
24	17, 23	bitr4d 191	. 2 |- ( R e. Ring -> ( U e. (SubMnd ` M ) <-> ( U C_ ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. U /\ ( M ↾s U ) e. Mnd ) ) )
25	5, 7, 11, 24	mpbir3and 1180	1 |- ( R e. Ring -> U e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   ↾_s cress 12455   0gc0g 12693   Mndcmnd 12749  SubMndcsubmnd 12782  mulGrpcmgp 13061   1rcur 13073   Ringcrg 13110  Unitcui 13187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-tpos 6243  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-submnd 12784  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-cmn 13021  df-abl 13022  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-srg 13078  df-ring 13112  df-oppr 13171  df-dvdsr 13189  df-unit 13190

This theorem is referenced by: (None)