Theorem issubm2 13839

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
issubm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubm2	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		issubm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4	1, 2, 3	issubm 13838	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		issubm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 13814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
7	6	bicomd 141	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mnd))
8	7	3expb 1235	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mnd))
9	8	pm5.32da 456	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
10		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
11		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd))
12	9, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
13	4, 12	bitrd 188	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410   ↾_s cress 13411  +_gcplusg 13490  0_gc0g 13669  Mndcmnd 13788  SubMndcsubmnd 13824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-submnd 13826

This theorem is used by:  submmnd  13846  subsubm  13849  unitsubm  14535  subrgsubm  14651