Theorem isxms2 14631

Description: Express the predicate " <. X , D >. is an extended metric space" with underlying set X and distance function D. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	|- J = ( TopOpen ` K )
isms.x	|- X = ( Base ` K )
isms.d	|- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
isxms2	|- ( K e. *MetSp <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Proof of Theorem isxms2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` K )
2		isms.x	. . 3 |- X = ( Base ` K )
3		isms.d	. . 3 |- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )
4	1, 2, 3	isxms 14630	. 2 |- ( K e. *MetSp <-> ( K e. TopSp /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
5	2, 1	istps 14211	. . . 4 |- ( K e. TopSp <-> J e. (TopOn ` X ) )
6		df-mopn 14046	. . . . . . . . . 10 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5163	. . . . . . . . 9 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8		mopnrel 14620	. . . . . . . . . 10 |- Rel MetOpen
9		toponmax 14204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> X e. J )
11		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> J = ( MetOpen ` D ) )
12	10, 11	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> X e. ( MetOpen ` D ) )
13		relelfvdm 5587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel MetOpen /\ X e. ( MetOpen ` D ) ) -> D e. dom MetOpen )
14	8, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. dom MetOpen )
15	7, 14	sselid 3178	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. U. ran *Met )
16		xmetunirn 14537	. . . . . . . 8 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
19	18	mopntopon 14622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` dom dom D ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` dom dom D ) )
21	11, 20	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> J e. (TopOn ` dom dom D ) )
22		toponuni 14194	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` dom dom D ) -> dom dom D = U. J )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> dom dom D = U. J )
24		toponuni 14194	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> X = U. J )
26	23, 25	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> dom dom D = X )
27	26	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( *Met ` dom dom D ) = ( *Met ` X ) )
28	17, 27	eleqtrd 2272	. . . . . 6 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
29	28	ex 115	. . . . 5 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( J e. (TopOn ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) ) )
30	18	mopntopon 14622	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` X ) )
31		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` X ) ) )
32	30, 31	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) ) )
33	29, 32	impbid 129	. . . 4 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> D e. ( *Met ` X ) ) )
34	5, 33	bitrid 192	. . 3 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( K e. TopSp <-> D e. ( *Met ` X ) ) )
35	34	pm5.32ri 455	. 2 |- ( ( K e. TopSp /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
36	4, 35	bitri 184	1 |- ( K e. *MetSp <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   U.cuni 3836   X. cxp 4658   dom cdm 4660   ran crn 4661   |` cres 4662   Rel wrel 4665   ` cfv 5255   Basecbs 12621   distcds 12707   TopOpenctopn 12854   topGenctg 12868   *Metcxmet 14035   ballcbl 14037   MetOpencmopn 14040  TopOnctopon 14189   TopSpctps 14209   *MetSpcxms 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-tset 12717  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-topsp 14210  df-bases 14222  df-xms 14518

This theorem is referenced by:  isms2  14633  xmsxmet  14639