ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxms2 Unicode version

Theorem isxms2 14429
Description: Express the predicate " <. X ,  D >. is an extended metric space" with underlying set  X and distance function  D. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
isms.x  |-  X  =  ( Base `  K
)
isms.d  |-  D  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
isxms2  |-  ( K  e.  *MetSp  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  J  =  ( MetOpen `  D
) ) )

Proof of Theorem isxms2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isms.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
2 isms.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  K
)
3 isms.d . . 3  |-  D  =  ( ( dist `  K
)  |`  ( X  X.  X ) )
41, 2, 3isxms 14428 . 2  |-  ( K  e.  *MetSp  <->  ( K  e.  TopSp  /\  J  =  ( MetOpen `  D )
) )
52, 1istps 14009 . . . 4  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 df-mopn 13877 . . . . . . . . . 10  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  *Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
76dmmptss 5143 . . . . . . . . 9  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  *Met
8 mopnrel 14418 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  MetOpen
9 toponmax 14002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
109adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  X  e.  J )
11 simpl 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  J  =  ( MetOpen `  D )
)
1210, 11eleqtrd 2268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  X  e.  ( MetOpen `  D )
)
13 relelfvdm 5566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  MetOpen  /\  X  e.  ( MetOpen `  D )
)  ->  D  e.  dom 
MetOpen )
148, 12, 13sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  D  e.  dom 
MetOpen )
157, 14sselid 3168 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  D  e.  U.
ran  *Met )
16 xmetunirn 14335 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1715, 16sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
18 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
1918mopntopon 14420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  dom  dom  D
) )
2017, 19syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  dom  dom  D )
)
2111, 20eqeltrd 2266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  dom  dom  D
) )
22 toponuni 13992 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  dom  dom 
D )  ->  dom  dom 
D  =  U. J
)
2321, 22syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  dom  dom  D  =  U. J )
24 toponuni 13992 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2524adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  X  =  U. J )
2623, 25eqtr4d 2225 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  dom  dom  D  =  X )
2726fveq2d 5538 . . . . . . 7  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( *Met `  dom  dom  D
)  =  ( *Met `  X ) )
2817, 27eleqtrd 2268 . . . . . 6  |-  ( ( J  =  ( MetOpen `  D )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2928ex 115 . . . . 5  |-  ( J  =  ( MetOpen `  D
)  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) ) )
3018mopntopon 14420 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  e.  (TopOn `  X )
)
31 eleq1 2252 . . . . . 6  |-  ( J  =  ( MetOpen `  D
)  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  (
MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  X )
) )
3230, 31imbitrrid 156 . . . . 5  |-  ( J  =  ( MetOpen `  D
)  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
) )
3329, 32impbid 129 . . . 4  |-  ( J  =  ( MetOpen `  D
)  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  D  e.  ( *Met `  X ) ) )
345, 33bitrid 192 . . 3  |-  ( J  =  ( MetOpen `  D
)  ->  ( K  e.  TopSp 
<->  D  e.  ( *Met `  X ) ) )
3534pm5.32ri 455 . 2  |-  ( ( K  e.  TopSp  /\  J  =  ( MetOpen `  D
) )  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  J  =  ( MetOpen `  D
) ) )
364, 35bitri 184 1  |-  ( K  e.  *MetSp  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  J  =  ( MetOpen `  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   U.cuni 3824    X. cxp 4642   dom cdm 4644   ran crn 4645    |` cres 4646   Rel wrel 4649   ` cfv 5235   Basecbs 12515   distcds 12601   TopOpenctopn 12748   topGenctg 12762   *Metcxmet 13866   ballcbl 13868   MetOpencmopn 13871  TopOnctopon 13987   TopSpctps 14007   *MetSpcxms 14313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-tset 12611  df-rest 12749  df-topn 12750  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-topsp 14008  df-bases 14020  df-xms 14316
This theorem is referenced by:  isms2  14431  xmsxmet  14437
  Copyright terms: Public domain W3C validator