Theorem isxms2 14688

Description: Express the predicate " <. X , D >. is an extended metric space" with underlying set X and distance function D. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	|- J = ( TopOpen ` K )
isms.x	|- X = ( Base ` K )
isms.d	|- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
isxms2	|- ( K e. *MetSp <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Proof of Theorem isxms2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` K )
2		isms.x	. . 3 |- X = ( Base ` K )
3		isms.d	. . 3 |- D = ( ( dist ` K ) |` ( X X. X ) )
4	1, 2, 3	isxms 14687	. 2 |- ( K e. *MetSp <-> ( K e. TopSp /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
5	2, 1	istps 14268	. . . 4 |- ( K e. TopSp <-> J e. (TopOn ` X ) )
6		df-mopn 14103	. . . . . . . . . 10 |- MetOpen = ( x e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` x ) ) )
7	6	dmmptss 5166	. . . . . . . . 9 |- dom MetOpen C_ U. ran *Met
8		mopnrel 14677	. . . . . . . . . 10 |- Rel MetOpen
9		toponmax 14261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> X e. J )
11		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> J = ( MetOpen ` D ) )
12	10, 11	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> X e. ( MetOpen ` D ) )
13		relelfvdm 5590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel MetOpen /\ X e. ( MetOpen ` D ) ) -> D e. dom MetOpen )
14	8, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. dom MetOpen )
15	7, 14	sselid 3181	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. U. ran *Met )
16		xmetunirn 14594	. . . . . . . 8 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
19	18	mopntopon 14679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` dom dom D ) )
20	17, 19	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` dom dom D ) )
21	11, 20	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> J e. (TopOn ` dom dom D ) )
22		toponuni 14251	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` dom dom D ) -> dom dom D = U. J )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> dom dom D = U. J )
24		toponuni 14251	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> X = U. J )
26	23, 25	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> dom dom D = X )
27	26	fveq2d 5562	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( *Met ` dom dom D ) = ( *Met ` X ) )
28	17, 27	eleqtrd 2275	. . . . . 6 |- ( ( J = ( MetOpen ` D ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
29	28	ex 115	. . . . 5 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( J e. (TopOn ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) ) )
30	18	mopntopon 14679	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` X ) )
31		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` X ) ) )
32	30, 31	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) ) )
33	29, 32	impbid 129	. . . 4 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( J e. (TopOn ` X ) <-> D e. ( *Met ` X ) ) )
34	5, 33	bitrid 192	. . 3 |- ( J = ( MetOpen ` D ) -> ( K e. TopSp <-> D e. ( *Met ` X ) ) )
35	34	pm5.32ri 455	. 2 |- ( ( K e. TopSp /\ J = ( MetOpen ` D ) ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )
36	4, 35	bitri 184	1 |- ( K e. *MetSp <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` D ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   U.cuni 3839   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   |` cres 4665   Rel wrel 4668   ` cfv 5258   Basecbs 12678   distcds 12764   TopOpenctopn 12911   topGenctg 12925   *Metcxmet 14092   ballcbl 14094   MetOpencmopn 14097  TopOnctopon 14246   TopSpctps 14266   *MetSpcxms 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-tset 12774  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-topsp 14267  df-bases 14279  df-xms 14575

This theorem is referenced by:  isms2  14690  xmsxmet  14696