Theorem ixi 8604

Description: _i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	|- ( _i x. _i ) = -u 1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8195	. 2 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
2		ax-i2m1 7979	. . 3 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
3		0cn 8013	. . . 4 |- 0 e. CC
4		ax-1cn 7967	. . . 4 |- 1 e. CC
5		ax-icn 7969	. . . . 5 |- _i e. CC
6	5, 5	mulcli 8026	. . . 4 |- ( _i x. _i ) e. CC
7	3, 4, 6	subadd2i 8309	. . 3 |- ( ( 0 - 1 ) = ( _i x. _i ) <-> ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0 )
8	2, 7	mpbir 146	. 2 |- ( 0 - 1 ) = ( _i x. _i )
9	1, 8	eqtr2i 2215	1 |- ( _i x. _i ) = -u 1

Syntax hints:   = wceq 1364  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   _ici 7876   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   -ucneg 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-neg 8195

This theorem is referenced by:  inelr  8605  mulreim  8625  recextlem1  8672  cju  8982  irec  10713  i2  10714  crre  11004  remim  11007  remullem  11018  absi  11206  cosadd  11883  absefib  11917  efieq1re  11918  demoivreALT  11920