Theorem ixi 8459

Description: _i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	|- ( _i x. _i ) = -u 1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8050	. 2 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
2		ax-i2m1 7838	. . 3 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
3		0cn 7871	. . . 4 |- 0 e. CC
4		ax-1cn 7826	. . . 4 |- 1 e. CC
5		ax-icn 7828	. . . . 5 |- _i e. CC
6	5, 5	mulcli 7884	. . . 4 |- ( _i x. _i ) e. CC
7	3, 4, 6	subadd2i 8164	. . 3 |- ( ( 0 - 1 ) = ( _i x. _i ) <-> ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0 )
8	2, 7	mpbir 145	. 2 |- ( 0 - 1 ) = ( _i x. _i )
9	1, 8	eqtr2i 2179	1 |- ( _i x. _i ) = -u 1

Syntax hints:   = wceq 1335  (class class class)co 5825   0cc0 7733   1c1 7734   _ici 7735   + caddc 7736   x. cmul 7738   - cmin 8047   -ucneg 8048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-setind 4497  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-sub 8049  df-neg 8050

This theorem is referenced by:  inelr  8460  mulreim  8480  recextlem1  8526  cju  8833  irec  10522  i2  10523  crre  10761  remim  10764  remullem  10775  absi  10963  cosadd  11638  absefib  11671  efieq1re  11672  demoivreALT  11674