ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixi Unicode version

Theorem ixi 8459
Description:  _i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 8050 . 2  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2 ax-i2m1 7838 . . 3  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
3 0cn 7871 . . . 4  |-  0  e.  CC
4 ax-1cn 7826 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 ax-icn 7828 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
65, 5mulcli 7884 . . . 4  |-  ( _i  x.  _i )  e.  CC
73, 4, 6subadd2i 8164 . . 3  |-  ( ( 0  -  1 )  =  ( _i  x.  _i )  <->  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0 )
82, 7mpbir 145 . 2  |-  ( 0  -  1 )  =  ( _i  x.  _i )
91, 8eqtr2i 2179 1  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335  (class class class)co 5825   0cc0 7733   1c1 7734   _ici 7735    + caddc 7736    x. cmul 7738    - cmin 8047   -ucneg 8048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-setind 4497  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-sub 8049  df-neg 8050
This theorem is referenced by:  inelr  8460  mulreim  8480  recextlem1  8526  cju  8833  irec  10522  i2  10523  crre  10761  remim  10764  remullem  10775  absi  10963  cosadd  11638  absefib  11671  efieq1re  11672  demoivreALT  11674
  Copyright terms: Public domain W3C validator