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Theorem cosadd 11759
Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem cosadd
StepHypRef Expression
1 addcl 7950 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 cosval 11725 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  2 ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  2
) )
4 coscl 11729 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
54adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
6 coscl 11729 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
76adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  B
)  e.  CC )
85, 7mulcld 7992 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
9 ax-icn 7920 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
10 sincl 11728 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
1110adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  B
)  e.  CC )
12 mulcl 7952 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
139, 11, 12sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
14 sincl 11728 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1514adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
16 mulcl 7952 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
179, 15, 16sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
1813, 17mulcld 7992 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
198, 18addcld 7991 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
205, 13mulcld 7992 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  e.  CC )
217, 17mulcld 7992 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
2220, 21addcld 7991 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
2319, 22, 19ppncand 8322 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
24 adddi 7957 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
259, 24mp3an1 1334 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
2625fveq2d 5531 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
27 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
28 mulcl 7952 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
299, 27, 28sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
30 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31 mulcl 7952 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
329, 30, 31sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
33 efadd 11697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
3429, 32, 33syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
35 efival 11754 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
36 efival 11754 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  +  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
3735, 36oveqan12d 5907 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
385, 17, 7, 13muladdd 8387 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
3937, 38eqtrd 2220 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
4026, 34, 393eqtrd 2224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
41 negicn 8172 . . . . . . . 8  |-  -u _i  e.  CC
42 adddi 7957 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
4341, 42mp3an1 1334 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
4443fveq2d 5531 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) ) )
45 mulcl 7952 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
4641, 27, 45sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
47 mulcl 7952 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
4841, 30, 47sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
49 efadd 11697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
5046, 48, 49syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
51 efmival 11755 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
52 efmival 11755 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
5351, 52oveqan12d 5907 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) ) )
545, 17, 7, 13mulsubd 8388 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  -  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
5553, 54eqtrd 2220 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
5644, 50, 553eqtrd 2224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
5740, 56oveq12d 5906 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
58192timesd 9175 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
5923, 57, 583eqtr4d 2230 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
6059oveq1d 5903 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  2 ) )
61 2cn 9004 . . . . 5  |-  2  e.  CC
62 2ap0 9026 . . . . 5  |-  2 #  0
63 divcanap3 8669 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  (
( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
6461, 62, 63mp3an23 1339 . . . 4  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
6519, 64syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
669a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
6766, 11, 66, 15mul4d 8126 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( sin `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
68 ixi 8554 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
6968oveq1i 5898 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( sin `  B )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( sin `  B )  x.  ( sin `  A
) ) )
7011, 15mulcomd 7993 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  B
)  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )
7170oveq2d 5904 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
7269, 71eqtrid 2232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( sin `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
7315, 11mulcld 7992 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
7473mulm1d 8381 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
7567, 72, 743eqtrd 2224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  = 
-u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
7675oveq2d 5904 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  + 
-u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
778, 73negsubd 8288 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
7865, 76, 773eqtrd 2224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
793, 60, 783eqtrd 2224 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825   1c1 7826   _ici 7827    + caddc 7828    x. cmul 7830    - cmin 8142   -ucneg 8143   # cap 8552    / cdiv 8643   2c2 8984   expce 11664   sincsin 11666   cosccos 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-sin 11672  df-cos 11673
This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11760  tanaddap  11761  cossub  11763  sinmul  11766  cosmul  11767  addcos  11768  subcos  11769  sincossq  11770  cos2t  11772  cos12dec  11789  demoivreALT  11795  cosppi  14535  coshalfpip  14539
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