Theorem cosadd 11990

Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cosadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof of Theorem cosadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8049	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		cosval 11956	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) )
4		coscl 11960	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
6		coscl 11960	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
8	5, 7	mulcld 8092	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
9		ax-icn 8019	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
10		sincl 11959	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12		mulcl 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
14		sincl 11959	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
16		mulcl 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
17	9, 15, 16	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
18	13, 17	mulcld 8092	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
19	8, 18	addcld 8091	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
20	5, 13	mulcld 8092	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
21	7, 17	mulcld 8092	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
22	20, 21	addcld 8091	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
23	19, 22, 19	ppncand 8422	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) + ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
24		adddi 8056	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
25	9, 24	mp3an1 1336	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
26	25	fveq2d 5579	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
27		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
28		mulcl 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
29	9, 27, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
31		mulcl 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
32	9, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
33		efadd 11928	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
34	29, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
35		efival 11985	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
36		efival 11985	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
37	35, 36	oveqan12d 5962	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
38	5, 17, 7, 13	muladdd 8487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
39	37, 38	eqtrd 2237	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
40	26, 34, 39	3eqtrd 2241	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
41		negicn 8272	. . . . . . . 8 |- -u _i e. CC
42		adddi 8056	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
43	41, 42	mp3an1 1336	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
44	43	fveq2d 5579	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
45		mulcl 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
46	41, 27, 45	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
47		mulcl 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
48	41, 30, 47	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
49		efadd 11928	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
50	46, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
51		efmival 11986	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
52		efmival 11986	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
53	51, 52	oveqan12d 5962	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
54	5, 17, 7, 13	mulsubd 8488	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2237	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
56	44, 50, 55	3eqtrd 2241	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
57	40, 56	oveq12d 5961	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) + ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
58	19	2timesd 9279	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
59	23, 57, 58	3eqtr4d 2247	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
60	59	oveq1d 5958	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) )
61		2cn 9106	. . . . 5 |- 2 e. CC
62		2ap0 9128	. . . . 5 |- 2 # 0
63		divcanap3 8770	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
64	61, 62, 63	mp3an23 1341	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
65	19, 64	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
66	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
67	66, 11, 66, 15	mul4d 8226	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
68		ixi 8655	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) = -u 1
69	68	oveq1i 5953	. . . . . 6 |- ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
70	11, 15	mulcomd 8093	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
71	70	oveq2d 5959	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2249	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
73	15, 11	mulcld 8092	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
74	73	mulm1d 8481	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
75	67, 72, 74	3eqtrd 2241	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
76	75	oveq2d 5959	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
77	8, 73	negsubd 8388	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
78	65, 76, 77	3eqtrd 2241	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
79	3, 60, 78	3eqtrd 2241	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   0cc0 7924   1c1 7925   _ici 7926   + caddc 7927   x. cmul 7929   - cmin 8242   -ucneg 8243   # cap 8653   / cdiv 8744   2c2 9086   expce 11895   sincsin 11897   cosccos 11898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-ico 10015  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607  df-ef 11901  df-sin 11903  df-cos 11904

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11991  tanaddap  11992  cossub  11994  sinmul  11997  cosmul  11998  addcos  11999  subcos  12000  sincossq  12001  cos2t  12003  cos12dec  12021  demoivreALT  12027  cosppi  15232  coshalfpip  15236