Theorem cosadd 12243

Description: Addition formula for cosine. Equation 15 of [Gleason] p. 310. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cosadd	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Proof of Theorem cosadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8120	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		cosval 12209	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) )
4		coscl 12213	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` A ) e. CC )
6		coscl 12213	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` B ) e. CC )
8	5, 7	mulcld 8163	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) e. CC )
9		ax-icn 8090	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
10		sincl 12212	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( sin ` B ) e. CC )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` B ) e. CC )
12		mulcl 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` B ) ) e. CC )
14		sincl 12212	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
15	14	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( sin ` A ) e. CC )
16		mulcl 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
17	9, 15, 16	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` A ) ) e. CC )
18	13, 17	mulcld 8163	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
19	8, 18	addcld 8162	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
20	5, 13	mulcld 8163	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) e. CC )
21	7, 17	mulcld 8163	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) e. CC )
22	20, 21	addcld 8162	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC )
23	19, 22, 19	ppncand 8493	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) + ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
24		adddi 8127	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
25	9, 24	mp3an1 1358	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( A + B ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) )
26	25	fveq2d 5630	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) )
27		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
28		mulcl 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
29	9, 27, 28	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
31		mulcl 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
32	9, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
33		efadd 12181	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
34	29, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) )
35		efival 12238	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
36		efival 12238	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
37	35, 36	oveqan12d 6019	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
38	5, 17, 7, 13	muladdd 8558	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) + ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
39	37, 38	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
40	26, 34, 39	3eqtrd 2266	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
41		negicn 8343	. . . . . . . 8 |- -u _i e. CC
42		adddi 8127	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
43	41, 42	mp3an1 1358	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. ( A + B ) ) = ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) )
44	43	fveq2d 5630	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) )
45		mulcl 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
46	41, 27, 45	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
47		mulcl 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( -u _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
48	41, 30, 47	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u _i x. B ) e. CC )
49		efadd 12181	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. B ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
50	46, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( ( -u _i x. A ) + ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) )
51		efmival 12239	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
52		efmival 12239	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. B ) ) = ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) )
53	51, 52	oveqan12d 6019	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) )
54	5, 17, 7, 13	mulsubd 8559	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) - ( _i x. ( sin ` A ) ) ) x. ( ( cos ` B ) - ( _i x. ( sin ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( -u _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
56	44, 50, 55	3eqtrd 2266	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
57	40, 56	oveq12d 6018	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) + ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) - ( ( ( cos ` A ) x. ( _i x. ( sin ` B ) ) ) + ( ( cos ` B ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) ) )
58	19	2timesd 9350	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) + ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
59	23, 57, 58	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) )
60	59	oveq1d 6015	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( A + B ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( A + B ) ) ) ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) )
61		2cn 9177	. . . . 5 |- 2 e. CC
62		2ap0 9199	. . . . 5 |- 2 # 0
63		divcanap3 8841	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
64	61, 62, 63	mp3an23 1363	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
65	19, 64	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) )
66	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
67	66, 11, 66, 15	mul4d 8297	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) )
68		ixi 8726	. . . . . . 7 |- ( _i x. _i ) = -u 1
69	68	oveq1i 6010	. . . . . 6 |- ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) )
70	11, 15	mulcomd 8164	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
71	70	oveq2d 6016	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
72	69, 71	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( sin ` B ) x. ( sin ` A ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
73	15, 11	mulcld 8163	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) e. CC )
74	73	mulm1d 8552	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
75	67, 72, 74	3eqtrd 2266	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) = -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) )
76	75	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
77	8, 73	negsubd 8459	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + -u ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
78	65, 76, 77	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) + ( ( _i x. ( sin ` B ) ) x. ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )
79	3, 60, 78	3eqtrd 2266	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( A + B ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` B ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   _ici 7997   + caddc 7998   x. cmul 8000   - cmin 8313   -ucneg 8314   # cap 8724   / cdiv 8815   2c2 9157   expce 12148   sincsin 12150   cosccos 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-ico 10086  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  12244  tanaddap  12245  cossub  12247  sinmul  12250  cosmul  12251  addcos  12252  subcos  12253  sincossq  12254  cos2t  12256  cos12dec  12274  demoivreALT  12280  cosppi  15486  coshalfpip  15490