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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > crre | Unicode version |
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
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crre |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | recn 7946 |
. . . 4
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2 | ax-icn 7908 |
. . . . 5
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3 | recn 7946 |
. . . . 5
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4 | mulcl 7940 |
. . . . 5
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5 | 2, 3, 4 | sylancr 414 |
. . . 4
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6 | addcl 7938 |
. . . 4
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7 | 1, 5, 6 | syl2an 289 |
. . 3
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8 | reval 10860 |
. . 3
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. 2
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10 | cjcl 10859 |
. . . . . 6
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11 | 7, 10 | syl 14 |
. . . . 5
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12 | 7, 11 | addcld 7979 |
. . . 4
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13 | 12 | halfcld 9165 |
. . 3
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14 | 1 | adantr 276 |
. . 3
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15 | recl 10864 |
. . . . . . 7
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16 | 7, 15 | syl 14 |
. . . . . 6
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17 | 9, 16 | eqeltrrd 2255 |
. . . . 5
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18 | simpl 109 |
. . . . 5
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19 | 17, 18 | resubcld 8340 |
. . . 4
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20 | 2 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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21 | 3 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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22 | 2, 21, 4 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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23 | 7, 11 | subcld 8270 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | halfcld 9165 |
. . . . . . 7
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25 | 20, 22, 24 | subdid 8373 |
. . . . . 6
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26 | 14, 22, 14 | pnpcand 8307 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 22, 14, 22 | pnpcan2d 8308 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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28 | 26, 27 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 14, 14 | addcld 7979 |
. . . . . . . . . . . . 13
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31 | 7, 11, 30 | addsubd 8291 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 22, 22 | addcld 7979 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32, 7, 11 | subsubd 8298 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 29, 31, 33 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 14 | 2timesd 9163 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 22 | 2timesd 9163 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 34, 36, 38 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | oveq1d 5892 |
. . . . . . . . 9
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41 | 2cn 8992 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | mulcl 7940 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 14, 42 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 2ap0 9014 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 45 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 12, 43, 44, 46 | divsubdirapd 8789 |
. . . . . . . . 9
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48 | mulcl 7940 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 41, 22, 48 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 49, 23, 44, 46 | divsubdirapd 8789 |
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51 | 40, 47, 50 | 3eqtr3d 2218 |
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52 | 14, 44, 46 | divcanap3d 8754 |
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53 | 52 | oveq2d 5893 |
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54 | 22, 44, 46 | divcanap3d 8754 |
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55 | 54 | oveq1d 5892 |
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56 | 51, 53, 55 | 3eqtr3d 2218 |
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57 | 56 | oveq2d 5893 |
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58 | 20, 20, 21 | mulassd 7983 |
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59 | 20, 23, 44, 46 | divassapd 8785 |
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60 | 58, 59 | oveq12d 5895 |
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61 | 25, 57, 60 | 3eqtr4d 2220 |
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62 | ixi 8542 |
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63 | neg1rr 9027 |
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64 | 62, 63 | eqeltri 2250 |
. . . . . . 7
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65 | simpr 110 |
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66 | remulcl 7941 |
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67 | 64, 65, 66 | sylancr 414 |
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68 | cjth 10857 |
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69 | 68 | simprd 114 |
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71 | 70 | rehalfcld 9167 |
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73 | 61, 72 | eqeltrd 2254 |
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74 | rimul 8544 |
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75 | 19, 73, 74 | syl2anc 411 |
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76 | 13, 14, 75 | subeq0d 8278 |
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77 | 9, 76 | eqtrd 2210 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-2 8980 df-cj 10853 df-re 10854 |
This theorem is referenced by: crim 10869 replim 10870 mulreap 10875 recj 10878 reneg 10879 readd 10880 remullem 10882 rei 10910 crrei 10947 crred 10987 rennim 11013 absreimsq 11078 4sqlem4 12392 2sqlem2 14501 |
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