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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulreim | Unicode version |
Description: Complex multiplication in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.) |
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mulreim |
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1 | simpll 527 |
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2 | 1 | recnd 8016 |
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3 | ax-icn 7936 |
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4 | 3 | a1i 9 |
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5 | simplr 528 |
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6 | 5 | recnd 8016 |
. . . 4
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7 | 4, 6 | mulcld 8008 |
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8 | simprl 529 |
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9 | 8 | recnd 8016 |
. . 3
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10 | simprr 531 |
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11 | 10 | recnd 8016 |
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12 | 4, 11 | mulcld 8008 |
. . 3
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13 | 2, 7, 9, 12 | muladdd 8403 |
. 2
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14 | 4, 11, 4, 6 | mul4d 8142 |
. . . . . 6
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15 | ixi 8570 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | oveq1i 5906 |
. . . . . 6
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17 | 14, 16 | eqtrdi 2238 |
. . . . 5
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18 | 11, 6 | mulcld 8008 |
. . . . . 6
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19 | 18 | mulm1d 8397 |
. . . . 5
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20 | 11, 6 | mulcomd 8009 |
. . . . . 6
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21 | 20 | negeqd 8182 |
. . . . 5
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22 | 17, 19, 21 | 3eqtrd 2226 |
. . . 4
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23 | 22 | oveq2d 5912 |
. . 3
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24 | 11, 2 | mulcld 8008 |
. . . . . 6
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25 | 4, 24 | mulcld 8008 |
. . . . 5
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26 | 9, 6 | mulcld 8008 |
. . . . . 6
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27 | 4, 26 | mulcld 8008 |
. . . . 5
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28 | 25, 27 | addcomd 8138 |
. . . 4
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29 | 2, 4, 11 | mul12d 8139 |
. . . . . 6
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30 | 2, 11 | mulcomd 8009 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | oveq2d 5912 |
. . . . . 6
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32 | 29, 31 | eqtrd 2222 |
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33 | 9, 4, 6 | mul12d 8139 |
. . . . 5
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34 | 32, 33 | oveq12d 5914 |
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35 | 4, 26, 24 | adddid 8012 |
. . . 4
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36 | 28, 34, 35 | 3eqtr4d 2232 |
. . 3
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37 | 23, 36 | oveq12d 5914 |
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38 | 13, 37 | eqtrd 2222 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-setind 4554 ax-resscn 7933 ax-1cn 7934 ax-icn 7936 ax-addcl 7937 ax-addrcl 7938 ax-mulcl 7939 ax-addcom 7941 ax-mulcom 7942 ax-addass 7943 ax-mulass 7944 ax-distr 7945 ax-i2m1 7946 ax-1rid 7948 ax-0id 7949 ax-rnegex 7950 ax-cnre 7952 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-id 4311 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-sub 8160 df-neg 8161 |
This theorem is referenced by: mulext1 8599 |
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