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Theorem absefib 11939
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with _i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 11840 . . . . 5 |- ( exp ` 0 ) = 1
21eqeq2i 2207 . . . 4 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 )
3 imcl 11022 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
43renegcld 8409 . . . . 5 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
5 0re 8029 . . . . 5 |- 0 e. RR
6 reef11 11867 . . . . 5 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
82, 7bitr3id 194 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
93recnd 8058 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
109negeq0d 8332 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
118, 10bitr4d 191 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
12 ax-icn 7977 . . . . . 6 |- _i e. CC
13 mulcl 8009 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
1412, 13mpan 424 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
15 absef 11938 . . . . 5 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
1614, 15syl 14 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
17 replim 11027 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18 recl 11021 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1918recnd 8058 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
20 mulcl 8009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2112, 9, 20sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2219, 21addcomd 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2317, 22eqtrd 2229 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2423oveq2d 5939 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) )
25 adddi 8014 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2612, 25mp3an1 1335 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
28 ixi 8613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
2928oveq1i 5933 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
30 mulass 8013 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3112, 12, 30mp3an12 1338 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
329, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
339mulm1d 8439 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
3429, 32, 333eqtr3a 2253 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
3534oveq1d 5938 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3627, 35eqtrd 2229 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3724, 36eqtrd 2229 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3837fveq2d 5563 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) )
394, 18crred 11144 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
4038, 39eqtrd 2229 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = -u ( Im ` A ) )
4140fveq2d 5563 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4216, 41eqtrd 2229 . . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4342eqeq1d 2205 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 ) )
44 reim0b 11030 . 2 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
4511, 43, 443bitr4rd 221 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   RRcr 7881   0cc0 7882   1c1 7883   _ici 7884   + caddc 7885   x. cmul 7887   -ucneg 8201   Recre 11008   Imcim 11009   abscabs 11165   expce 11810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-sup 7052  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-ico 9972  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-bc 10843  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816  df-sin 11818  df-cos 11819
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