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Theorem absefib 12322
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with _i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 12223 . . . . 5 |- ( exp ` 0 ) = 1
21eqeq2i 2240 . . . 4 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 )
3 imcl 11405 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
43renegcld 8549 . . . . 5 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
5 0re 8169 . . . . 5 |- 0 e. RR
6 reef11 12250 . . . . 5 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
82, 7bitr3id 194 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
93recnd 8198 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
109negeq0d 8472 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
118, 10bitr4d 191 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
12 ax-icn 8117 . . . . . 6 |- _i e. CC
13 mulcl 8149 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
1412, 13mpan 424 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
15 absef 12321 . . . . 5 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
1614, 15syl 14 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
17 replim 11410 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18 recl 11404 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1918recnd 8198 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
20 mulcl 8149 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2112, 9, 20sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2219, 21addcomd 8320 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2317, 22eqtrd 2262 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2423oveq2d 6029 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) )
25 adddi 8154 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2612, 25mp3an1 1358 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
28 ixi 8753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
2928oveq1i 6023 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
30 mulass 8153 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3112, 12, 30mp3an12 1361 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
329, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
339mulm1d 8579 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
3429, 32, 333eqtr3a 2286 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
3534oveq1d 6028 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3627, 35eqtrd 2262 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3724, 36eqtrd 2262 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3837fveq2d 5639 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) )
394, 18crred 11527 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
4038, 39eqtrd 2262 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = -u ( Im ` A ) )
4140fveq2d 5639 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4216, 41eqtrd 2262 . . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4342eqeq1d 2238 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 ) )
44 reim0b 11413 . 2 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
4511, 43, 443bitr4rd 221 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   _ici 8024   + caddc 8025   x. cmul 8027   -ucneg 8341   Recre 11391   Imcim 11392   abscabs 11548   expce 12193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-sin 12201  df-cos 12202
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