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Theorem absefib 11711
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with _i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 11613 . . . . 5 |- ( exp ` 0 ) = 1
21eqeq2i 2176 . . . 4 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 )
3 imcl 10796 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
43renegcld 8278 . . . . 5 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
5 0re 7899 . . . . 5 |- 0 e. RR
6 reef11 11640 . . . . 5 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
74, 5, 6sylancl 410 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
82, 7bitr3id 193 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
93recnd 7927 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
109negeq0d 8201 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
118, 10bitr4d 190 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
12 ax-icn 7848 . . . . . 6 |- _i e. CC
13 mulcl 7880 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
1412, 13mpan 421 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
15 absef 11710 . . . . 5 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
1614, 15syl 14 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
17 replim 10801 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18 recl 10795 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1918recnd 7927 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
20 mulcl 7880 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2112, 9, 20sylancr 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2219, 21addcomd 8049 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2317, 22eqtrd 2198 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2423oveq2d 5858 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) )
25 adddi 7885 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2612, 25mp3an1 1314 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
28 ixi 8481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
2928oveq1i 5852 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
30 mulass 7884 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3112, 12, 30mp3an12 1317 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
329, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
339mulm1d 8308 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
3429, 32, 333eqtr3a 2223 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
3534oveq1d 5857 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3627, 35eqtrd 2198 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3724, 36eqtrd 2198 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3837fveq2d 5490 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) )
394, 18crred 10918 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
4038, 39eqtrd 2198 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = -u ( Im ` A ) )
4140fveq2d 5490 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4216, 41eqtrd 2198 . . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4342eqeq1d 2174 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 ) )
44 reim0b 10804 . 2 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
4511, 43, 443bitr4rd 220 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   -ucneg 8070   Recre 10782   Imcim 10783   abscabs 10939   expce 11583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592
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