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Theorem absefib 12297
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with _i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 12198 . . . . 5 |- ( exp ` 0 ) = 1
21eqeq2i 2240 . . . 4 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 )
3 imcl 11380 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
43renegcld 8537 . . . . 5 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
5 0re 8157 . . . . 5 |- 0 e. RR
6 reef11 12225 . . . . 5 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
82, 7bitr3id 194 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
93recnd 8186 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
109negeq0d 8460 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
118, 10bitr4d 191 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
12 ax-icn 8105 . . . . . 6 |- _i e. CC
13 mulcl 8137 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
1412, 13mpan 424 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
15 absef 12296 . . . . 5 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
1614, 15syl 14 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) )
17 replim 11385 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18 recl 11379 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
1918recnd 8186 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
20 mulcl 8137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2112, 9, 20sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2219, 21addcomd 8308 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2317, 22eqtrd 2262 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
2423oveq2d 6023 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) )
25 adddi 8142 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2612, 25mp3an1 1358 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
2721, 19, 26syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
28 ixi 8741 . . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
2928oveq1i 6017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
30 mulass 8141 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3112, 12, 30mp3an12 1361 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
329, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
339mulm1d 8567 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
3429, 32, 333eqtr3a 2286 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
3534oveq1d 6022 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3627, 35eqtrd 2262 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( Re ` A ) ) ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3724, 36eqtrd 2262 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) )
3837fveq2d 5633 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) )
394, 18crred 11502 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( -u ( Im ` A ) + ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
4038, 39eqtrd 2262 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( _i x. A ) ) = -u ( Im ` A ) )
4140fveq2d 5633 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( Re ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4216, 41eqtrd 2262 . . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
4342eqeq1d 2238 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = 1 ) )
44 reim0b 11388 . 2 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
4511, 43, 443bitr4rd 221 1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   _ici 8012   + caddc 8013   x. cmul 8015   -ucneg 8329   Recre 11366   Imcim 11367   abscabs 11523   expce 12168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-sin 12176  df-cos 12177
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