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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > efieq1re | Unicode version |
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.) |
Ref | Expression |
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efieq1re |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | replim 10354 |
. . . . . . . . 9
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2 | 1 | oveq2d 5682 |
. . . . . . . 8
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3 | recl 10348 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 3 | recnd 7577 |
. . . . . . . . . 10
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5 | ax-icn 7501 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | imcl 10349 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | recnd 7577 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | mulcl 7530 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 5, 7, 8 | sylancr 406 |
. . . . . . . . . 10
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10 | adddi 7535 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 5, 10 | mp3an1 1261 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 4, 9, 11 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . 9
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13 | ixi 8121 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | oveq1i 5676 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | mulass 7534 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | 5, 5, 15 | mp3an12 1264 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 7, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 7 | mulm1d 7949 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 14, 17, 18 | 3eqtr3a 2145 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | oveq2d 5682 |
. . . . . . . . 9
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21 | 12, 20 | eqtrd 2121 |
. . . . . . . 8
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22 | 2, 21 | eqtrd 2121 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | fveq2d 5322 |
. . . . . 6
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24 | mulcl 7530 |
. . . . . . . 8
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25 | 5, 4, 24 | sylancr 406 |
. . . . . . 7
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26 | 6 | renegcld 7919 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | recnd 7577 |
. . . . . . 7
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28 | efadd 11026 |
. . . . . . 7
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29 | 25, 27, 28 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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30 | 23, 29 | eqtrd 2121 |
. . . . 5
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31 | 30 | eqeq1d 2097 |
. . . 4
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32 | efcl 11015 |
. . . . . . . . 9
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33 | 25, 32 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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34 | efcl 11015 |
. . . . . . . . 9
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35 | 27, 34 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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36 | 33, 35 | absmuld 10688 |
. . . . . . 7
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37 | absefi 11119 |
. . . . . . . . 9
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38 | 3, 37 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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39 | 26 | reefcld 11020 |
. . . . . . . . 9
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40 | efgt0 11035 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 26, 40 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 0re 7549 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | ltle 7633 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 42, 43 | mpan 416 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 39, 41, 44 | sylc 62 |
. . . . . . . . 9
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46 | 39, 45 | absidd 10661 |
. . . . . . . 8
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47 | 38, 46 | oveq12d 5684 |
. . . . . . 7
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48 | 35 | mulid2d 7567 |
. . . . . . 7
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49 | 36, 47, 48 | 3eqtrrd 2126 |
. . . . . 6
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50 | fveq2 5318 |
. . . . . 6
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51 | 49, 50 | sylan9eq 2141 |
. . . . 5
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52 | 51 | ex 114 |
. . . 4
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53 | 31, 52 | sylbid 149 |
. . 3
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54 | 7 | negeq0d 7846 |
. . . 4
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55 | reim0b 10357 |
. . . 4
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56 | ef0 11023 |
. . . . . . 7
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57 | abs1 10566 |
. . . . . . 7
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58 | 56, 57 | eqtr4i 2112 |
. . . . . 6
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59 | 58 | eqeq2i 2099 |
. . . . 5
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60 | reef11 11051 |
. . . . . 6
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61 | 26, 42, 60 | sylancl 405 |
. . . . 5
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62 | 59, 61 | syl5bbr 193 |
. . . 4
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63 | 54, 55, 62 | 3bitr4rd 220 |
. . 3
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64 | 53, 63 | sylibd 148 |
. 2
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65 | 64 | imp 123 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7497 ax-resscn 7498 ax-1cn 7499 ax-1re 7500 ax-icn 7501 ax-addcl 7502 ax-addrcl 7503 ax-mulcl 7504 ax-mulrcl 7505 ax-addcom 7506 ax-mulcom 7507 ax-addass 7508 ax-mulass 7509 ax-distr 7510 ax-i2m1 7511 ax-0lt1 7512 ax-1rid 7513 ax-0id 7514 ax-rnegex 7515 ax-precex 7516 ax-cnre 7517 ax-pre-ltirr 7518 ax-pre-ltwlin 7519 ax-pre-lttrn 7520 ax-pre-apti 7521 ax-pre-ltadd 7522 ax-pre-mulgt0 7523 ax-pre-mulext 7524 ax-arch 7525 ax-caucvg 7526 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-disj 3829 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-isom 5037 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-frec 6170 df-1o 6195 df-oadd 6199 df-er 6306 df-en 6512 df-dom 6513 df-fin 6514 df-sup 6733 df-pnf 7585 df-mnf 7586 df-xr 7587 df-ltxr 7588 df-le 7589 df-sub 7716 df-neg 7717 df-reap 8113 df-ap 8120 df-div 8201 df-inn 8484 df-2 8542 df-3 8543 df-4 8544 df-n0 8735 df-z 8812 df-uz 9081 df-q 9166 df-rp 9196 df-ico 9373 df-fz 9486 df-fzo 9615 df-iseq 9914 df-seq3 9915 df-exp 10016 df-fac 10195 df-bc 10217 df-ihash 10245 df-cj 10337 df-re 10338 df-im 10339 df-rsqrt 10492 df-abs 10493 df-clim 10728 df-isum 10804 df-ef 10999 df-sin 11001 df-cos 11002 |
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