Theorem efieq1re 11763

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	|- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10852	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2	1	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
3		recl 10846	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
4	3	recnd 7976	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
5		ax-icn 7897	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
6		imcl 10847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7	6	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
8		mulcl 7929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10		adddi 7934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
11	5, 10	mp3an1 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
13		ixi 8530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
14	13	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
15		mulass 7933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	5, 5, 15	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
17	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18	7	mulm1d 8357	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
20	19	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
21	12, 20	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
22	2, 21	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
23	22	fveq2d 5515	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) )
24		mulcl 7929	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
25	5, 4, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
26	6	renegcld 8327	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
27	26	recnd 7976	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
28		efadd 11667	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
29	25, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
30	23, 29	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
31	30	eqeq1d 2186	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 <-> ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) )
32		efcl 11656	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
33	25, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
34		efcl 11656	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( Im ` A ) e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
35	27, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
36	33, 35	absmuld 11187	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
37		absefi 11760	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` A ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
38	3, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
39	26	reefcld 11661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR )
40		efgt0 11676	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u ( Im ` A ) e. RR -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
41	26, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
42		0re 7948	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
43		ltle 8035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
44	42, 43	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
45	39, 41, 44	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
46	39, 45	absidd 11160	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
47	38, 46	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
48	35	mulid2d 7966	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
49	36, 47, 48	3eqtrrd 2215	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
50		fveq2 5511	. . . . . 6 |- ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
51	49, 50	sylan9eq 2230	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
53	31, 52	sylbid 150	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
54	7	negeq0d 8250	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
55		reim0b 10855	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
56		ef0 11664	. . . . . . 7 |- ( exp ` 0 ) = 1
57		abs1 11065	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
58	56, 57	eqtr4i 2201	. . . . . 6 |- ( exp ` 0 ) = ( abs ` 1 )
59	58	eqeq2i 2188	. . . . 5 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
60		reef11 11691	. . . . . 6 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
61	26, 42, 60	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
62	59, 61	bitr3id 194	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
63	54, 55, 62	3bitr4rd 221	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> A e. RR ) )
64	53, 63	sylibd 149	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> A e. RR ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   _ici 7804   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   -ucneg 8119   Recre 10833   Imcim 10834   abscabs 10990   expce 11634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-cos 11643

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