Theorem efieq1re 12436

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	|- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11522	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2	1	oveq2d 6057	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
3		recl 11516	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
4	3	recnd 8290	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
5		ax-icn 8210	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
6		imcl 11517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7	6	recnd 8290	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
8		mulcl 8242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
9	5, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10		adddi 8247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
11	5, 10	mp3an1 1361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
13		ixi 8845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
14	13	oveq1i 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
15		mulass 8246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	5, 5, 15	mp3an12 1364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
17	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18	7	mulm1d 8671	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2289	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
20	19	oveq2d 6057	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
21	12, 20	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
22	2, 21	eqtrd 2265	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
23	22	fveq2d 5665	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) )
24		mulcl 8242	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
25	5, 4, 24	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
26	6	renegcld 8641	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
27	26	recnd 8290	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
28		efadd 12339	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
29	25, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
30	23, 29	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
31	30	eqeq1d 2241	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 <-> ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) )
32		efcl 12328	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
33	25, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
34		efcl 12328	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( Im ` A ) e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
35	27, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
36	33, 35	absmuld 11857	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
37		absefi 12433	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` A ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
38	3, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
39	26	reefcld 12333	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR )
40		efgt0 12348	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u ( Im ` A ) e. RR -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
41	26, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
42		0re 8262	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
43		ltle 8349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
44	42, 43	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
45	39, 41, 44	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
46	39, 45	absidd 11830	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
47	38, 46	oveq12d 6059	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
48	35	mullidd 8280	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
49	36, 47, 48	3eqtrrd 2270	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
50		fveq2 5661	. . . . . 6 |- ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
51	49, 50	sylan9eq 2285	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
53	31, 52	sylbid 150	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
54	7	negeq0d 8564	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
55		reim0b 11525	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
56		ef0 12336	. . . . . . 7 |- ( exp ` 0 ) = 1
57		abs1 11735	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
58	56, 57	eqtr4i 2256	. . . . . 6 |- ( exp ` 0 ) = ( abs ` 1 )
59	58	eqeq2i 2243	. . . . 5 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
60		reef11 12363	. . . . . 6 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
61	26, 42, 60	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
62	59, 61	bitr3id 194	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
63	54, 55, 62	3bitr4rd 221	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> A e. RR ) )
64	53, 63	sylibd 149	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> A e. RR ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4102   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   CCcc 8113   RRcr 8114   0cc0 8115   1c1 8116   _ici 8117   + caddc 8118   x. cmul 8120   < clt 8296   <_ cle 8297   -ucneg 8433   Recre 11503   Imcim 11504   abscabs 11660   expce 12306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-pre-mulext 8233  ax-arch 8234  ax-caucvg 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-disj 4079  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-isom 5352  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-irdg 6592  df-frec 6613  df-1o 6638  df-oadd 6642  df-er 6758  df-en 6967  df-dom 6968  df-fin 6969  df-sup 7266  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-div 8935  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-q 9938  df-rp 9973  df-ico 10213  df-fz 10329  df-fzo 10463  df-seqfrec 10796  df-exp 10887  df-fac 11074  df-bc 11096  df-ihash 11124  df-cj 11505  df-re 11506  df-im 11507  df-rsqrt 11661  df-abs 11662  df-clim 11942  df-sumdc 12017  df-ef 12312  df-sin 12314  df-cos 12315

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