Theorem efieq1re 12520

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	|- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11605	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2	1	oveq2d 6094	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
3		recl 11599	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
4	3	recnd 8347	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
5		ax-icn 8267	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
6		imcl 11600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7	6	recnd 8347	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
8		mulcl 8299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
9	5, 7, 8	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10		adddi 8304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
11	5, 10	mp3an1 1365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
12	4, 9, 11	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
13		ixi 8904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. _i ) = -u 1
14	13	oveq1i 6088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( -u 1 x. ( Im ` A ) )
15		mulass 8303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	5, 5, 15	mp3an12 1368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
17	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18	7	mulm1d 8730	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. ( Im ` A ) ) = -u ( Im ` A ) )
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2295	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = -u ( Im ` A ) )
20	19	oveq2d 6094	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
21	12, 20	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
22	2, 21	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) = ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) )
23	22	fveq2d 5697	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) )
24		mulcl 8299	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( Re ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
25	5, 4, 24	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC )
26	6	renegcld 8700	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. RR )
27	26	recnd 8347	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC )
28		efadd 12423	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
29	25, 27, 28	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. ( Re ` A ) ) + -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
30	23, 29	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
31	30	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 <-> ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) )
32		efcl 12412	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i x. ( Re ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
33	25, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) e. CC )
34		efcl 12412	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( Im ` A ) e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
35	27, 34	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. CC )
36	33, 35	absmuld 11941	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
37		absefi 12517	. . . . . . . . 9 |- ( ( Re ` A ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
38	3, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) = 1 )
39	26	reefcld 12417	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR )
40		efgt0 12432	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u ( Im ` A ) e. RR -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
41	26, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
42		0re 8319	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
43		ltle 8406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
44	42, 43	mpan 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) e. RR -> ( 0 < ( exp ` -u ( Im ` A ) ) -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
45	39, 41, 44	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
46	39, 45	absidd 11914	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
47	38, 46	oveq12d 6096	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) ) x. ( abs ` ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) )
48	35	mullidd 8337	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = ( exp ` -u ( Im ` A ) ) )
49	36, 47, 48	3eqtrrd 2276	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) )
50		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
51	49, 50	sylan9eq 2291	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 ) -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( Re ` A ) ) ) x. ( exp ` -u ( Im ` A ) ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
53	31, 52	sylbid 150	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
54	7	negeq0d 8622	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
55		reim0b 11608	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
56		ef0 12420	. . . . . . 7 |- ( exp ` 0 ) = 1
57		abs1 11819	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
58	56, 57	eqtr4i 2262	. . . . . 6 |- ( exp ` 0 ) = ( abs ` 1 )
59	58	eqeq2i 2249	. . . . 5 |- ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) )
60		reef11 12447	. . . . . 6 |- ( ( -u ( Im ` A ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
61	26, 42, 60	sylancl 417	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( exp ` 0 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
62	59, 61	bitr3id 194	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> -u ( Im ` A ) = 0 ) )
63	54, 55, 62	3bitr4rd 221	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` -u ( Im ` A ) ) = ( abs ` 1 ) <-> A e. RR ) )
64	53, 63	sylibd 149	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 -> A e. RR ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( A e. CC /\ ( exp ` ( _i x. A ) ) = 1 ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   CCcc 8170   RRcr 8171   0cc0 8172   1c1 8173   _ici 8174   + caddc 8175   x. cmul 8177   < clt 8353   <_ cle 8354   -ucneg 8491   Recre 11586   Imcim 11587   abscabs 11744   expce 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290  ax-arch 8291  ax-caucvg 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-frec 6655  df-1o 6680  df-oadd 6684  df-er 6800  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-sup 7317  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-q 10002  df-rp 10037  df-ico 10278  df-fz 10394  df-fzo 10531  df-seqfrec 10866  df-exp 10957  df-fac 11145  df-bc 11167  df-ihash 11196  df-cj 11588  df-re 11589  df-im 11590  df-rsqrt 11745  df-abs 11746  df-clim 12026  df-sumdc 12101  df-ef 12396  df-sin 12398  df-cos 12399

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