Theorem irec 11097

Description: The reciprocal of _i. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
irec	|- ( 1 / _i ) = -u _i

Proof of Theorem irec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8280	. . . 4 |- _i e. CC
2	1, 1	mulneg2i 8739	. . 3 |- ( _i x. -u _i ) = -u ( _i x. _i )
3		ixi 8919	. . . 4 |- ( _i x. _i ) = -u 1
4		ax-1cn 8278	. . . . 5 |- 1 e. CC
5	1, 1	mulcli 8337	. . . . 5 |- ( _i x. _i ) e. CC
6	4, 5	negcon2i 8616	. . . 4 |- ( 1 = -u ( _i x. _i ) <-> ( _i x. _i ) = -u 1 )
7	3, 6	mpbir 146	. . 3 |- 1 = -u ( _i x. _i )
8	2, 7	eqtr4i 2262	. 2 |- ( _i x. -u _i ) = 1
9		negicn 8534	. . 3 |- -u _i e. CC
10		iap0 9539	. . 3 |- _i # 0
11	4, 1, 9, 10	divmulapi 9104	. 2 |- ( ( 1 / _i ) = -u _i <-> ( _i x. -u _i ) = 1 )
12	8, 11	mpbir 146	1 |- ( 1 / _i ) = -u _i

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  (class class class)co 6088   1c1 8186   _ici 8187   x. cmul 8190   -ucneg 8505   / cdiv 9010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011

This theorem is used by:  imre  11638  crim  11645