Theorem remim 11256

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem remim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 11241	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
2		replim 11255	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	oveq1d 5977	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
4		recl 11249	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8131	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
6		ax-icn 8050	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7		imcl 11250	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	recnd 8131	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
9		mulcl 8082	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
11	5, 10, 5	ppncand 8453	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
12	3, 11	eqtrd 2239	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
13	4, 4	readdcld 8132	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2283	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
15	5, 10, 10	pnncand 8452	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2	oveq1d 5977	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
17	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
18	17, 8, 8	adddid 8127	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2249	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
20	19	oveq2d 5978	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
21	7, 7	readdcld 8132	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR )
22	21	recnd 8131	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC )
23		mulass 8086	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
24	6, 6, 23	mp3an12 1340	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
26	20, 25	eqtr4d 2242	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
27		ixi 8686	. . . . . 6 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		neg1rr 9172	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR
29	27, 28	eqeltri 2279	. . . . 5 |- ( _i x. _i ) e. RR
30		remulcl 8083	. . . . 5 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 21, 30	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
32	26, 31	eqeltrd 2283	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR )
33	5, 10	subcld 8413	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
34		cju 9064	. . . 4 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
35		oveq2 5970	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A + x ) = ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
36	35	eleq1d 2275	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR ) )
37		oveq2 5970	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A - x ) = ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
38	37	oveq2d 5978	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
39	38	eleq1d 2275	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) )
40	36, 39	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) ) )
41	40	riota2 5940	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC /\ E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
42	33, 34, 41	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
43	14, 32, 42	mpbi2and 946	. 2 |- ( A e. CC -> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
44	1, 43	eqtrd 2239	1 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   E!wreu 2487   ` cfv 5285   iota_crio 5916  (class class class)co 5962   CCcc 7953   RRcr 7954   1c1 7956   _ici 7957   + caddc 7958   x. cmul 7960   - cmin 8273   -ucneg 8274   *ccj 11235   Recre 11236   Imcim 11237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-2 9125  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240

This theorem is referenced by:  cjreb  11262  recj  11263  remullem  11267  imcj  11271  cjadd  11280  cjneg  11286  imval2  11290  cji  11298  remimd  11338