Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remim Unicode version

Theorem remim 10656
 Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim

Proof of Theorem remim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 10641 . 2
2 replim 10655 . . . . . 6
32oveq1d 5792 . . . . 5
4 recl 10649 . . . . . . 7
54recnd 7813 . . . . . 6
6 ax-icn 7734 . . . . . . 7
7 imcl 10650 . . . . . . . 8
87recnd 7813 . . . . . . 7
9 mulcl 7766 . . . . . . 7
106, 8, 9sylancr 410 . . . . . 6
115, 10, 5ppncand 8132 . . . . 5
123, 11eqtrd 2172 . . . 4
134, 4readdcld 7814 . . . 4
1412, 13eqeltrd 2216 . . 3
155, 10, 10pnncand 8131 . . . . . . 7
162oveq1d 5792 . . . . . . 7
176a1i 9 . . . . . . . 8
1817, 8, 8adddid 7809 . . . . . . 7
1915, 16, 183eqtr4d 2182 . . . . . 6
2019oveq2d 5793 . . . . 5
217, 7readdcld 7814 . . . . . . 7
2221recnd 7813 . . . . . 6
23 mulass 7770 . . . . . . 7
246, 6, 23mp3an12 1305 . . . . . 6
2522, 24syl 14 . . . . 5
2620, 25eqtr4d 2175 . . . 4
27 ixi 8364 . . . . . 6
28 neg1rr 8845 . . . . . 6
2927, 28eqeltri 2212 . . . . 5
30 remulcl 7767 . . . . 5
3129, 21, 30sylancr 410 . . . 4
3226, 31eqeltrd 2216 . . 3
335, 10subcld 8092 . . . 4
34 cju 8738 . . . 4
35 oveq2 5785 . . . . . . 7
3635eleq1d 2208 . . . . . 6
37 oveq2 5785 . . . . . . . 8
3837oveq2d 5793 . . . . . . 7
3938eleq1d 2208 . . . . . 6
4036, 39anbi12d 464 . . . . 5
4140riota2 5755 . . . 4
4233, 34, 41syl2anc 408 . . 3
4314, 32, 42mpbi2and 927 . 2
441, 43eqtrd 2172 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  wreu 2418  cfv 5126  crio 5732  (class class class)co 5777  cc 7637  cr 7638  c1 7640  ci 7641   caddc 7642   cmul 7644   cmin 7952  cneg 7953  ccj 10635  cre 10636  cim 10637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-2 8798  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640 This theorem is referenced by:  cjreb  10662  recj  10663  remullem  10667  imcj  10671  cjadd  10680  cjneg  10686  imval2  10690  cji  10698  remimd  10738
 Copyright terms: Public domain W3C validator