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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > remim | Unicode version |
Description: Value of the conjugate of
a complex number. The value is the real part
minus ![]() |
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remim |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cjval 10872 |
. 2
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2 | replim 10886 |
. . . . . 6
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3 | 2 | oveq1d 5906 |
. . . . 5
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4 | recl 10880 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | recnd 8004 |
. . . . . 6
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6 | ax-icn 7924 |
. . . . . . 7
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7 | imcl 10881 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | recnd 8004 |
. . . . . . 7
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9 | mulcl 7956 |
. . . . . . 7
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10 | 6, 8, 9 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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11 | 5, 10, 5 | ppncand 8326 |
. . . . 5
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12 | 3, 11 | eqtrd 2222 |
. . . 4
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13 | 4, 4 | readdcld 8005 |
. . . 4
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14 | 12, 13 | eqeltrd 2266 |
. . 3
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15 | 5, 10, 10 | pnncand 8325 |
. . . . . . 7
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16 | 2 | oveq1d 5906 |
. . . . . . 7
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17 | 6 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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18 | 17, 8, 8 | adddid 8000 |
. . . . . . 7
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19 | 15, 16, 18 | 3eqtr4d 2232 |
. . . . . 6
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20 | 19 | oveq2d 5907 |
. . . . 5
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21 | 7, 7 | readdcld 8005 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | recnd 8004 |
. . . . . 6
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23 | mulass 7960 |
. . . . . . 7
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24 | 6, 6, 23 | mp3an12 1338 |
. . . . . 6
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25 | 22, 24 | syl 14 |
. . . . 5
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26 | 20, 25 | eqtr4d 2225 |
. . . 4
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27 | ixi 8558 |
. . . . . 6
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28 | neg1rr 9043 |
. . . . . 6
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29 | 27, 28 | eqeltri 2262 |
. . . . 5
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30 | remulcl 7957 |
. . . . 5
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31 | 29, 21, 30 | sylancr 414 |
. . . 4
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32 | 26, 31 | eqeltrd 2266 |
. . 3
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33 | 5, 10 | subcld 8286 |
. . . 4
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34 | cju 8936 |
. . . 4
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35 | oveq2 5899 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | eleq1d 2258 |
. . . . . 6
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37 | oveq2 5899 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | oveq2d 5907 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | eleq1d 2258 |
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40 | 36, 39 | anbi12d 473 |
. . . . 5
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41 | 40 | riota2 5869 |
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42 | 33, 34, 41 | syl2anc 411 |
. . 3
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43 | 14, 32, 42 | mpbi2and 945 |
. 2
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44 | 1, 43 | eqtrd 2222 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1cn 7922 ax-1re 7923 ax-icn 7924 ax-addcl 7925 ax-addrcl 7926 ax-mulcl 7927 ax-mulrcl 7928 ax-addcom 7929 ax-mulcom 7930 ax-addass 7931 ax-mulass 7932 ax-distr 7933 ax-i2m1 7934 ax-0lt1 7935 ax-1rid 7936 ax-0id 7937 ax-rnegex 7938 ax-precex 7939 ax-cnre 7940 ax-pre-ltirr 7941 ax-pre-ltwlin 7942 ax-pre-lttrn 7943 ax-pre-apti 7944 ax-pre-ltadd 7945 ax-pre-mulgt0 7946 ax-pre-mulext 7947 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-pnf 8012 df-mnf 8013 df-xr 8014 df-ltxr 8015 df-le 8016 df-sub 8148 df-neg 8149 df-reap 8550 df-ap 8557 df-div 8648 df-2 8996 df-cj 10869 df-re 10870 df-im 10871 |
This theorem is referenced by: cjreb 10893 recj 10894 remullem 10898 imcj 10902 cjadd 10911 cjneg 10917 imval2 10921 cji 10929 remimd 10969 |
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