Theorem remim 11386

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem remim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 11371	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
2		replim 11385	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
4		recl 11379	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
6		ax-icn 8105	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7		imcl 11380	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	recnd 8186	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
9		mulcl 8137	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
11	5, 10, 5	ppncand 8508	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
12	3, 11	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
13	4, 4	readdcld 8187	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
15	5, 10, 10	pnncand 8507	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2	oveq1d 6022	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
17	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
18	17, 8, 8	adddid 8182	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
20	19	oveq2d 6023	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
21	7, 7	readdcld 8187	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR )
22	21	recnd 8186	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC )
23		mulass 8141	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
24	6, 6, 23	mp3an12 1361	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
26	20, 25	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
27		ixi 8741	. . . . . 6 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		neg1rr 9227	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR
29	27, 28	eqeltri 2302	. . . . 5 |- ( _i x. _i ) e. RR
30		remulcl 8138	. . . . 5 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 21, 30	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
32	26, 31	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR )
33	5, 10	subcld 8468	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
34		cju 9119	. . . 4 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
35		oveq2 6015	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A + x ) = ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
36	35	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR ) )
37		oveq2 6015	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A - x ) = ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
38	37	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
39	38	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) )
40	36, 39	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) ) )
41	40	riota2 5984	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC /\ E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
42	33, 34, 41	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
43	14, 32, 42	mpbi2and 949	. 2 |- ( A e. CC -> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
44	1, 43	eqtrd 2262	1 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   ` cfv 5318   iota_crio 5959  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   1c1 8011   _ici 8012   + caddc 8013   x. cmul 8015   - cmin 8328   -ucneg 8329   *ccj 11365   Recre 11366   Imcim 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-2 9180  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370

This theorem is referenced by:  cjreb  11392  recj  11393  remullem  11397  imcj  11401  cjadd  11410  cjneg  11416  imval2  11420  cji  11428  remimd  11468