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Theorem remim 10519
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus  _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )

Proof of Theorem remim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 10504 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) ) )
2 replim 10518 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32oveq1d 5741 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4 recl 10512 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54recnd 7712 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 ax-icn 7634 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
7 imcl 10513 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
87recnd 7712 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
9 mulcl 7665 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
106, 8, 9sylancr 408 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
115, 10, 5ppncand 8030 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  +  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
123, 11eqtrd 2145 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
134, 4readdcld 7713 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  A ) )  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2189 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
155, 10, 10pnncand 8029 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162oveq1d 5741 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
176a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1817, 8, 8adddid 7708 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1915, 16, 183eqtr4d 2155 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) )
2019oveq2d 5742 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
217, 7readdcld 7713 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )
2221recnd 7712 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )
23 mulass 7669 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) ) )
246, 6, 23mp3an12 1286 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2522, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2620, 25eqtr4d 2148 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) )
27 ixi 8257 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 neg1rr 8730 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
2927, 28eqeltri 2185 . . . . 5  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
30 remulcl 7666 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
3129, 21, 30sylancr 408 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  e.  RR )
3226, 31eqeltrd 2189 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  RR )
335, 10subcld 7990 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
34 cju 8623 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
35 oveq2 5734 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3635eleq1d 2181 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  RR ) )
37 oveq2 5734 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3837oveq2d 5742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
3938eleq1d 2181 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) )
4036, 39anbi12d 462 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4140riota2 5704 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( A  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4233, 34, 41syl2anc 406 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC  ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4314, 32, 42mpbi2and 908 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
441, 43eqtrd 2145 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   E!wreu 2390   ` cfv 5079   iota_crio 5681  (class class class)co 5726   CCcc 7539   RRcr 7540   1c1 7542   _ici 7543    + caddc 7544    x. cmul 7546    - cmin 7850   -ucneg 7851   *ccj 10498   Recre 10499   Imcim 10500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-2 8683  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503
This theorem is referenced by:  cjreb  10525  recj  10526  remullem  10530  imcj  10534  cjadd  10543  cjneg  10549  imval2  10553  cji  10561  remimd  10601
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