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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > remim | Unicode version |
Description: Value of the conjugate of
a complex number. The value is the real part
minus ![]() |
Ref | Expression |
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remim |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cjval 10504 |
. 2
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2 | replim 10518 |
. . . . . 6
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3 | 2 | oveq1d 5741 |
. . . . 5
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4 | recl 10512 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | recnd 7712 |
. . . . . 6
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6 | ax-icn 7634 |
. . . . . . 7
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7 | imcl 10513 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | recnd 7712 |
. . . . . . 7
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9 | mulcl 7665 |
. . . . . . 7
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10 | 6, 8, 9 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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11 | 5, 10, 5 | ppncand 8030 |
. . . . 5
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12 | 3, 11 | eqtrd 2145 |
. . . 4
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13 | 4, 4 | readdcld 7713 |
. . . 4
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14 | 12, 13 | eqeltrd 2189 |
. . 3
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15 | 5, 10, 10 | pnncand 8029 |
. . . . . . 7
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16 | 2 | oveq1d 5741 |
. . . . . . 7
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17 | 6 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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18 | 17, 8, 8 | adddid 7708 |
. . . . . . 7
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19 | 15, 16, 18 | 3eqtr4d 2155 |
. . . . . 6
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20 | 19 | oveq2d 5742 |
. . . . 5
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21 | 7, 7 | readdcld 7713 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | recnd 7712 |
. . . . . 6
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23 | mulass 7669 |
. . . . . . 7
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24 | 6, 6, 23 | mp3an12 1286 |
. . . . . 6
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25 | 22, 24 | syl 14 |
. . . . 5
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26 | 20, 25 | eqtr4d 2148 |
. . . 4
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27 | ixi 8257 |
. . . . . 6
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28 | neg1rr 8730 |
. . . . . 6
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29 | 27, 28 | eqeltri 2185 |
. . . . 5
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30 | remulcl 7666 |
. . . . 5
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31 | 29, 21, 30 | sylancr 408 |
. . . 4
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32 | 26, 31 | eqeltrd 2189 |
. . 3
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33 | 5, 10 | subcld 7990 |
. . . 4
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34 | cju 8623 |
. . . 4
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35 | oveq2 5734 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | eleq1d 2181 |
. . . . . 6
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37 | oveq2 5734 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | oveq2d 5742 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | eleq1d 2181 |
. . . . . 6
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40 | 36, 39 | anbi12d 462 |
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41 | 40 | riota2 5704 |
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42 | 33, 34, 41 | syl2anc 406 |
. . 3
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43 | 14, 32, 42 | mpbi2and 908 |
. 2
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44 | 1, 43 | eqtrd 2145 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-sep 4004 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-cnex 7630 ax-resscn 7631 ax-1cn 7632 ax-1re 7633 ax-icn 7634 ax-addcl 7635 ax-addrcl 7636 ax-mulcl 7637 ax-mulrcl 7638 ax-addcom 7639 ax-mulcom 7640 ax-addass 7641 ax-mulass 7642 ax-distr 7643 ax-i2m1 7644 ax-0lt1 7645 ax-1rid 7646 ax-0id 7647 ax-rnegex 7648 ax-precex 7649 ax-cnre 7650 ax-pre-ltirr 7651 ax-pre-ltwlin 7652 ax-pre-lttrn 7653 ax-pre-apti 7654 ax-pre-ltadd 7655 ax-pre-mulgt0 7656 ax-pre-mulext 7657 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rmo 2396 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-fv 5087 df-riota 5682 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-pnf 7720 df-mnf 7721 df-xr 7722 df-ltxr 7723 df-le 7724 df-sub 7852 df-neg 7853 df-reap 8249 df-ap 8256 df-div 8340 df-2 8683 df-cj 10501 df-re 10502 df-im 10503 |
This theorem is referenced by: cjreb 10525 recj 10526 remullem 10530 imcj 10534 cjadd 10543 cjneg 10549 imval2 10553 cji 10561 remimd 10601 |
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