Theorem remim 10887

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem remim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 10872	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) )
2		replim 10886	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	oveq1d 5906	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
4		recl 10880	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8004	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
6		ax-icn 7924	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7		imcl 10881	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
8	7	recnd 8004	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
9		mulcl 7956	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
11	5, 10, 5	ppncand 8326	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
12	3, 11	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) )
13	4, 4	readdcld 8005	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` A ) ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2266	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR )
15	5, 10, 10	pnncand 8325	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2	oveq1d 5906	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
17	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
18	17, 8, 8	adddid 8000	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
20	19	oveq2d 5907	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
21	7, 7	readdcld 8005	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR )
22	21	recnd 8004	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC )
23		mulass 7960	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
24	6, 6, 23	mp3an12 1338	. . . . . 6 |- ( ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) ) )
26	20, 25	eqtr4d 2225	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) )
27		ixi 8558	. . . . . 6 |- ( _i x. _i ) = -u 1
28		neg1rr 9043	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR
29	27, 28	eqeltri 2262	. . . . 5 |- ( _i x. _i ) e. RR
30		remulcl 7957	. . . . 5 |- ( ( ( _i x. _i ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
31	29, 21, 30	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` A ) ) ) e. RR )
32	26, 31	eqeltrd 2266	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR )
33	5, 10	subcld 8286	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
34		cju 8936	. . . 4 |- ( A e. CC -> E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) )
35		oveq2 5899	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A + x ) = ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
36	35	eleq1d 2258	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( A + x ) e. RR <-> ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR ) )
37		oveq2 5899	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( A - x ) = ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
38	37	oveq2d 5907	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( _i x. ( A - x ) ) = ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
39	38	eleq1d 2258	. . . . . 6 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( _i x. ( A - x ) ) e. RR <-> ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) )
40	36, 39	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) -> ( ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) <-> ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) ) )
41	40	riota2 5869	. . . 4 |- ( ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC /\ E! x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
42	33, 34, 41	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A + ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. RR /\ ( _i x. ( A - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) e. RR ) <-> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
43	14, 32, 42	mpbi2and 945	. 2 |- ( A e. CC -> ( iota_ x e. CC ( ( A + x ) e. RR /\ ( _i x. ( A - x ) ) e. RR ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
44	1, 43	eqtrd 2222	1 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   E!wreu 2470   ` cfv 5231   iota_crio 5846  (class class class)co 5891   CCcc 7827   RRcr 7828   1c1 7830   _ici 7831   + caddc 7832   x. cmul 7834   - cmin 8146   -ucneg 8147   *ccj 10866   Recre 10867   Imcim 10868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-2 8996  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871

This theorem is referenced by:  cjreb  10893  recj  10894  remullem  10898  imcj  10902  cjadd  10911  cjneg  10917  imval2  10921  cji  10929  remimd  10969