ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmmndc Unicode version

Theorem lcmmndc 12097
Description: Decidablity lemma used in various proofs related to lcm. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
lcmmndc  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )

Proof of Theorem lcmmndc
StepHypRef Expression
1 0z 9295 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 zdceq 9359 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
31, 2mpan2 425 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
43adantr 276 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
5 zdceq 9359 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
61, 5mpan2 425 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  0
)
76adantl 277 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
8 dcor 937 . 2  |-  (DECID  M  =  0  ->  (DECID  N  = 
0  -> DECID  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) ) )
94, 7, 8sylc 62 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160   0cc0 7842   ZZcz 9284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285
This theorem is referenced by:  lcmval  12098  dvdslcm  12104  lcmeq0  12106  lcmcl  12107  lcmneg  12109  lcmgcd  12113  lcmdvds  12114
  Copyright terms: Public domain W3C validator