Theorem lcmmndc 12097

Description: Decidablity lemma used in various proofs related to lcm. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lcmmndc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) )

Proof of Theorem lcmmndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9295	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		zdceq 9359	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
5		zdceq 9359	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
6	1, 5	mpan2 425	. . 3 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
8		dcor 937	. 2 |- (DECID M = 0 -> (DECID N = 0 -> DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
9	4, 7, 8	sylc 62	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   0cc0 7842   ZZcz 9284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285

This theorem is referenced by:  lcmval  12098  dvdslcm  12104  lcmeq0  12106  lcmcl  12107  lcmneg  12109  lcmgcd  12113  lcmdvds  12114