ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmcl Unicode version

Theorem lcmcl 12107
Description: Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M lcm  N )  e.  NN0 )

Proof of Theorem lcmcl
StepHypRef Expression
1 lcmcom 12099 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M lcm  N )  =  ( N lcm  M
) )
21adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( M lcm  N )  =  ( N lcm 
M ) )
3 oveq2 5905 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( N lcm  M )  =  ( N lcm  0 ) )
4 lcm0val 12100 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N lcm  0 )  =  0 )
53, 4sylan9eqr 2244 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  =  0 )  ->  ( N lcm  M
)  =  0 )
65adantll 476 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( N lcm  M )  =  0 )
72, 6eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  ( M lcm  N )  =  0 )
8 oveq2 5905 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( M lcm  N )  =  ( M lcm  0 ) )
9 lcm0val 12100 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M lcm  0 )  =  0 )
108, 9sylan9eqr 2244 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  =  0 )  ->  ( M lcm  N
)  =  0 )
1110adantlr 477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( M lcm  N )  =  0 )
127, 11jaodan 798 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  -> 
( M lcm  N )  =  0 )
13 0nn0 9222 . . 3  |-  0  e.  NN0
1412, 13eqeltrdi 2280 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  -> 
( M lcm  N )  e.  NN0 )
15 lcmn0cl 12103 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  ->  ( M lcm  N
)  e.  NN )
1615nnnn0d 9260 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  ->  ( M lcm  N
)  e.  NN0 )
17 lcmmndc 12097 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )
18 exmiddc 837 . . 3  |-  (DECID  ( M  =  0  \/  N  =  0 )  -> 
( ( M  =  0  \/  N  =  0 )  \/  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0
) ) )
1917, 18syl 14 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  =  0  \/  N  =  0 )  \/  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0
) ) )
2014, 16, 19mpjaodan 799 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M lcm  N )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160  (class class class)co 5897   0cc0 7842   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   lcm clcm 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-lcm 12096
This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  12108  lcmneg  12109  lcmdvds  12114  lcmid  12115  lcm1  12116  lcmgcdeq  12118  lcmdvdsb  12119  lcmass  12120  3lcm2e6woprm  12121  6lcm4e12  12122  3lcm2e6  12195
  Copyright terms: Public domain W3C validator