Theorem lcmcl 10832

Description: Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )

Proof of Theorem lcmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmcom 10824	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )
2	1	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )
3		oveq2 5597	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( N lcm M ) = ( N lcm 0 ) )
4		lcm0val 10825	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N lcm 0 ) = 0 )
5	3, 4	sylan9eqr 2137	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M = 0 ) -> ( N lcm M ) = 0 )
6	5	adantll 460	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( N lcm M ) = 0 )
7	2, 6	eqtrd 2115	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
8		oveq2 5597	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( M lcm N ) = ( M lcm 0 ) )
9		lcm0val 10825	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M lcm 0 ) = 0 )
10	8, 9	sylan9eqr 2137	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
11	10	adantlr 461	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
12	7, 11	jaodan 744	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) = 0 )
13		0nn0 8578	. . 3 |- 0 e. NN0
14	12, 13	syl6eqel 2173	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )
15		lcmn0cl 10828	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN )
16	15	nnnn0d 8616	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )
17		lcmmndc 10822	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) )
18		exmiddc 778	. . 3 |- (DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) -> ( ( M = 0 \/ N = 0 ) \/ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M = 0 \/ N = 0 ) \/ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
20	14, 16, 19	mpjaodan 745	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285   e. wcel 1434  (class class class)co 5589   0cc0 7251   NN0cn0 8563   ZZcz 8644   lcm clcm 10820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365  ax-caucvg 7366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-isom 4976  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-sup 6584  df-inf 6585  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-q 8998  df-rp 9028  df-fz 9318  df-fzo 9442  df-fl 9564  df-mod 9617  df-iseq 9739  df-iexp 9790  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103  df-rsqrt 10256  df-abs 10257  df-dvds 10575  df-lcm 10821

This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  10833  lcmneg  10834  lcmdvds  10839  lcmid  10840  lcm1  10841  lcmgcdeq  10843  lcmdvdsb  10844  lcmass  10845  3lcm2e6woprm  10846  6lcm4e12  10847  3lcm2e6  10917