Theorem lcmcl 11593

Description: Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )

Proof of Theorem lcmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmcom 11585	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )
2	1	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M lcm N ) = ( N lcm M ) )
3		oveq2 5734	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( N lcm M ) = ( N lcm 0 ) )
4		lcm0val 11586	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N lcm 0 ) = 0 )
5	3, 4	sylan9eqr 2167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M = 0 ) -> ( N lcm M ) = 0 )
6	5	adantll 465	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( N lcm M ) = 0 )
7	2, 6	eqtrd 2145	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
8		oveq2 5734	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( M lcm N ) = ( M lcm 0 ) )
9		lcm0val 11586	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M lcm 0 ) = 0 )
10	8, 9	sylan9eqr 2167	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
11	10	adantlr 466	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( M lcm N ) = 0 )
12	7, 11	jaodan 769	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) = 0 )
13		0nn0 8890	. . 3 |- 0 e. NN0
14	12, 13	syl6eqel 2203	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )
15		lcmn0cl 11589	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN )
16	15	nnnn0d 8928	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )
17		lcmmndc 11583	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) )
18		exmiddc 804	. . 3 |- (DECID ( M = 0 \/ N = 0 ) -> ( ( M = 0 \/ N = 0 ) \/ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M = 0 \/ N = 0 ) \/ -. ( M = 0 \/ N = 0 ) ) )
20	14, 16, 19	mpjaodan 770	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M lcm N ) e. NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312   e. wcel 1461  (class class class)co 5726   0cc0 7541   NN0cn0 8875   ZZcz 8952   lcm clcm 11581

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-sup 6821  df-inf 6822  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-fz 9678  df-fzo 9807  df-fl 9930  df-mod 9983  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336  df-lcm 11582

This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  11594  lcmneg  11595  lcmdvds  11600  lcmid  11601  lcm1  11602  lcmgcdeq  11604  lcmdvdsb  11605  lcmass  11606  3lcm2e6woprm  11607  6lcm4e12  11608  3lcm2e6  11678