Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdslcm Unicode version

Theorem dvdslcm 11761
 Description: The lcm of two integers is divisible by each of them. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
dvdslcm lcm lcm

Proof of Theorem dvdslcm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvds0 11519 . . . . 5
21ad2antrr 479 . . . 4
3 oveq1 5781 . . . . . . 7 lcm lcm
4 0z 9077 . . . . . . . . 9
5 lcmcom 11756 . . . . . . . . 9 lcm lcm
64, 5mpan2 421 . . . . . . . 8 lcm lcm
7 lcm0val 11757 . . . . . . . 8 lcm
86, 7eqtr3d 2174 . . . . . . 7 lcm
93, 8sylan9eqr 2194 . . . . . 6 lcm
109adantll 467 . . . . 5 lcm
11 oveq2 5782 . . . . . . 7 lcm lcm
12 lcm0val 11757 . . . . . . 7 lcm
1311, 12sylan9eqr 2194 . . . . . 6 lcm
1413adantlr 468 . . . . 5 lcm
1510, 14jaodan 786 . . . 4 lcm
162, 15breqtrrd 3956 . . 3 lcm
17 dvds0 11519 . . . . 5
1817ad2antlr 480 . . . 4
1918, 15breqtrrd 3956 . . 3 lcm
2016, 19jca 304 . 2 lcm lcm
21 lcmcllem 11759 . . 3 lcm
22 lcmn0cl 11760 . . . 4 lcm
23 breq2 3933 . . . . . 6 lcm lcm
24 breq2 3933 . . . . . 6 lcm lcm
2523, 24anbi12d 464 . . . . 5 lcm lcm lcm
2625elrab3 2841 . . . 4 lcm lcm lcm lcm
2722, 26syl 14 . . 3 lcm lcm lcm
2821, 27mpbid 146 . 2 lcm lcm
29 lcmmndc 11754 . . 3 DECID
30 exmiddc 821 . . 3 DECID
3129, 30syl 14 . 2
3220, 28, 31mpjaodan 787 1 lcm lcm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697  DECID wdc 819   wceq 1331   wcel 1480  crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc0 7632  cn 8732  cz 9066   cdvds 11504   lcm clcm 11752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-lcm 11753 This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  11765  lcmneg  11766  lcmgcdeq  11775  lcmdvdsb  11776
 Copyright terms: Public domain W3C validator