Theorem ltrec1 8765

Description: Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltrec1	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / A ) < B <-> ( 1 / B ) < A ) )

Proof of Theorem ltrec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> A e. RR )
2		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < A )
3	1, 2	gt0ap0d 8509	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> A # 0 )
4	1, 3	rerecclapd 8712	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 / A ) e. RR )
5		recgt0 8727	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( 1 / A ) )
7		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
8		ltrec 8760	. . 3 |- ( ( ( ( 1 / A ) e. RR /\ 0 < ( 1 / A ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / A ) < B <-> ( 1 / B ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) ) )
9	4, 6, 7, 8	syl21anc 1219	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / A ) < B <-> ( 1 / B ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) ) )
10	1	recnd 7909	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> A e. CC )
11	10, 3	recrecapd 8663	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
12	11	breq2d 3979	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / B ) < ( 1 / ( 1 / A ) ) <-> ( 1 / B ) < A ) )
13	9, 12	bitrd 187	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( 1 / A ) < B <-> ( 1 / B ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827   RRcr 7734   0cc0 7735   1c1 7736   < clt 7915   / cdiv 8550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551

This theorem is referenced by:  recreclt  8777  ltrec1d  9631  expnlbnd  10552