Theorem gt0ap0d 8920

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8917	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324   # cap 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  9142  prodgt0  9143  ltdiv1  9159  ltmuldiv  9165  ledivmul  9168  lt2mul2div  9170  lemuldiv  9172  ltrec  9174  lerec  9175  ltrec1  9179  lerec2  9180  ledivdiv  9181  lediv2  9182  ltdiv23  9183  lediv23  9184  lediv12a  9185  recp1lt1  9190  ledivp1  9194  nnap0  9283  rpap0  10021  modq0  10715  mulqmod0  10716  negqmod0  10717  modqlt  10719  modqdiffl  10721  modqid0  10736  modqcyc  10745  modqmuladdnn0  10754  q2txmodxeq0  10770  modqdi  10778  ltexp2a  10977  leexp2a  10978  resq01  11044  expnbnd  11050  expcanlem  11102  expcan  11103  resqrexlemover  11720  resqrexlemcalc1  11724  resqrexlemcalc2  11725  ltabs  11797  divcnv  12208  expcnvre  12214  georeclim  12224  geoisumr  12229  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemfm  12240  cvgratz  12243  cnopnap  15602  reeff1oleme  15763  tangtx  15829  pellexlem2  15972  mersenne  15991  perfectlem2  15994  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  trirec0  16954  ltlenmkv  16982