Theorem gt0ap0d 8527

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8524	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   0cc0 7753   < clt 7933   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8746  prodgt0  8747  ltdiv1  8763  ltmuldiv  8769  ledivmul  8772  lt2mul2div  8774  lemuldiv  8776  ltrec  8778  lerec  8779  ltrec1  8783  lerec2  8784  ledivdiv  8785  lediv2  8786  ltdiv23  8787  lediv23  8788  lediv12a  8789  recp1lt1  8794  ledivp1  8798  nnap0  8886  rpap0  9606  modq0  10264  mulqmod0  10265  negqmod0  10266  modqlt  10268  modqdiffl  10270  modqid0  10285  modqcyc  10294  modqmuladdnn0  10303  q2txmodxeq0  10319  modqdi  10327  ltexp2a  10507  leexp2a  10508  expnbnd  10578  expcanlem  10628  expcan  10629  resqrexlemover  10952  resqrexlemcalc1  10956  resqrexlemcalc2  10957  ltabs  11029  divcnv  11438  expcnvre  11444  georeclim  11454  geoisumr  11459  cvgratnnlembern  11464  cvgratnnlemfm  11470  cvgratz  11473  cnopnap  13244  reeff1oleme  13343  tangtx  13409  trirec0  13933