Theorem gt0ap0d 8965

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8962	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> A # 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   # cap 8917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918

This theorem is used by:  prodgt0gt0  9189  prodgt0  9190  ltdiv1  9206  ltmuldiv  9212  ledivmul  9215  lt2mul2div  9217  lemuldiv  9219  ltrec  9221  lerec  9222  ltrec1  9226  lerec2  9227  ledivdiv  9228  lediv2  9229  ltdiv23  9230  lediv23  9231  lediv12a  9232  recp1lt1  9237  ledivp1  9241  nnap0  9342  rpap0  10087  modq0  10786  mulqmod0  10787  negqmod0  10788  modqlt  10790  modqdiffl  10792  modqid0  10807  modqcyc  10816  modqmuladdnn0  10825  q2txmodxeq0  10841  modqdi  10849  ltexp2a  11048  leexp2a  11049  resq01  11115  expnbnd  11121  expcanlem  11174  expcan  11175  resqrexlemover  11797  resqrexlemcalc1  11801  resqrexlemcalc2  11802  ltabs  11875  divcnv  12288  expcnvre  12294  georeclim  12304  geoisumr  12309  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemfm  12320  cvgratz  12323  cnopnap  15854  reeff1oleme  16015  tangtx  16082  logdivlt  16141  pellexlem2  16247  mersenne  16314  perfectlem2  16317  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  dichmul0orlem5  16979  trirec0  17317  ltlenmkv  17344