Theorem gt0ap0d 8903

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8900	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   0cc0 8127   < clt 8308   # cap 8855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  9125  prodgt0  9126  ltdiv1  9142  ltmuldiv  9148  ledivmul  9151  lt2mul2div  9153  lemuldiv  9155  ltrec  9157  lerec  9158  ltrec1  9162  lerec2  9163  ledivdiv  9164  lediv2  9165  ltdiv23  9166  lediv23  9167  lediv12a  9168  recp1lt1  9173  ledivp1  9177  nnap0  9266  rpap0  10003  modq0  10691  mulqmod0  10692  negqmod0  10693  modqlt  10695  modqdiffl  10697  modqid0  10712  modqcyc  10721  modqmuladdnn0  10730  q2txmodxeq0  10746  modqdi  10754  ltexp2a  10953  leexp2a  10954  expnbnd  11025  expcanlem  11077  expcan  11078  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc1  11699  resqrexlemcalc2  11700  ltabs  11772  divcnv  12183  expcnvre  12189  georeclim  12199  geoisumr  12204  cvgratnnlembern  12209  cvgratnnlemfm  12215  cvgratz  12218  cnopnap  15476  reeff1oleme  15637  tangtx  15703  pellexlem2  15846  mersenne  15865  perfectlem2  15868  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  trirec0  16828  ltlenmkv  16856