Theorem gt0ap0d 8159

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8156	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 404	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7403   0cc0 7404   < clt 7576   # cap 8112

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-ltxr 7581  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8366  prodgt0  8367  ltdiv1  8383  ltmuldiv  8389  ledivmul  8392  lt2mul2div  8394  lemuldiv  8396  ltrec  8398  lerec  8399  ltrec1  8403  lerec2  8404  ledivdiv  8405  lediv2  8406  ltdiv23  8407  lediv23  8408  lediv12a  8409  recp1lt1  8414  ledivp1  8418  nnap0  8505  rpap0  9204  modq0  9790  mulqmod0  9791  negqmod0  9792  modqlt  9794  modqdiffl  9796  modqid0  9811  modqcyc  9820  modqmuladdnn0  9829  q2txmodxeq0  9845  modqdi  9853  ltexp2a  10061  leexp2a  10062  expnbnd  10131  expcanlem  10178  expcan  10179  resqrexlemover  10497  resqrexlemcalc1  10501  resqrexlemcalc2  10502  ltabs  10574  divcnv  10945  expcnvre  10951  georeclim  10961  geoisumr  10966  cvgratnnlembern  10971  cvgratnnlemfm  10977  cvgratz  10980