Theorem gt0ap0d 8650

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8647	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   RRcr 7873   0cc0 7874   < clt 8056   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8872  prodgt0  8873  ltdiv1  8889  ltmuldiv  8895  ledivmul  8898  lt2mul2div  8900  lemuldiv  8902  ltrec  8904  lerec  8905  ltrec1  8909  lerec2  8910  ledivdiv  8911  lediv2  8912  ltdiv23  8913  lediv23  8914  lediv12a  8915  recp1lt1  8920  ledivp1  8924  nnap0  9013  rpap0  9739  modq0  10403  mulqmod0  10404  negqmod0  10405  modqlt  10407  modqdiffl  10409  modqid0  10424  modqcyc  10433  modqmuladdnn0  10442  q2txmodxeq0  10458  modqdi  10466  ltexp2a  10665  leexp2a  10666  expnbnd  10737  expcanlem  10789  expcan  10790  resqrexlemover  11157  resqrexlemcalc1  11161  resqrexlemcalc2  11162  ltabs  11234  divcnv  11643  expcnvre  11649  georeclim  11659  geoisumr  11664  cvgratnnlembern  11669  cvgratnnlemfm  11675  cvgratz  11678  cnopnap  14790  reeff1oleme  14948  tangtx  15014  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  trirec0  15604  ltlenmkv  15630