Theorem gt0ap0d 8415

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8412	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   0cc0 7644   < clt 7824   # cap 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8633  prodgt0  8634  ltdiv1  8650  ltmuldiv  8656  ledivmul  8659  lt2mul2div  8661  lemuldiv  8663  ltrec  8665  lerec  8666  ltrec1  8670  lerec2  8671  ledivdiv  8672  lediv2  8673  ltdiv23  8674  lediv23  8675  lediv12a  8676  recp1lt1  8681  ledivp1  8685  nnap0  8773  rpap0  9487  modq0  10133  mulqmod0  10134  negqmod0  10135  modqlt  10137  modqdiffl  10139  modqid0  10154  modqcyc  10163  modqmuladdnn0  10172  q2txmodxeq0  10188  modqdi  10196  ltexp2a  10376  leexp2a  10377  expnbnd  10446  expcanlem  10493  expcan  10494  resqrexlemover  10814  resqrexlemcalc1  10818  resqrexlemcalc2  10819  ltabs  10891  divcnv  11298  expcnvre  11304  georeclim  11314  geoisumr  11319  cvgratnnlembern  11324  cvgratnnlemfm  11330  cvgratz  11333  cnopnap  12802  reeff1oleme  12901  tangtx  12967  trirec0  13412