Theorem gt0ap0d 8548

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8545	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RRcr 7773   0cc0 7774   < clt 7954   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8767  prodgt0  8768  ltdiv1  8784  ltmuldiv  8790  ledivmul  8793  lt2mul2div  8795  lemuldiv  8797  ltrec  8799  lerec  8800  ltrec1  8804  lerec2  8805  ledivdiv  8806  lediv2  8807  ltdiv23  8808  lediv23  8809  lediv12a  8810  recp1lt1  8815  ledivp1  8819  nnap0  8907  rpap0  9627  modq0  10285  mulqmod0  10286  negqmod0  10287  modqlt  10289  modqdiffl  10291  modqid0  10306  modqcyc  10315  modqmuladdnn0  10324  q2txmodxeq0  10340  modqdi  10348  ltexp2a  10528  leexp2a  10529  expnbnd  10599  expcanlem  10649  expcan  10650  resqrexlemover  10974  resqrexlemcalc1  10978  resqrexlemcalc2  10979  ltabs  11051  divcnv  11460  expcnvre  11466  georeclim  11476  geoisumr  11481  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemfm  11492  cvgratz  11495  cnopnap  13388  reeff1oleme  13487  tangtx  13553  trirec0  14076