Theorem gt0ap0d 8648

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8645	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   RRcr 7871   0cc0 7872   < clt 8054   # cap 8600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8870  prodgt0  8871  ltdiv1  8887  ltmuldiv  8893  ledivmul  8896  lt2mul2div  8898  lemuldiv  8900  ltrec  8902  lerec  8903  ltrec1  8907  lerec2  8908  ledivdiv  8909  lediv2  8910  ltdiv23  8911  lediv23  8912  lediv12a  8913  recp1lt1  8918  ledivp1  8922  nnap0  9011  rpap0  9736  modq0  10400  mulqmod0  10401  negqmod0  10402  modqlt  10404  modqdiffl  10406  modqid0  10421  modqcyc  10430  modqmuladdnn0  10439  q2txmodxeq0  10455  modqdi  10463  ltexp2a  10662  leexp2a  10663  expnbnd  10734  expcanlem  10786  expcan  10787  resqrexlemover  11154  resqrexlemcalc1  11158  resqrexlemcalc2  11159  ltabs  11231  divcnv  11640  expcnvre  11646  georeclim  11656  geoisumr  11661  cvgratnnlembern  11666  cvgratnnlemfm  11672  cvgratz  11675  cnopnap  14765  reeff1oleme  14907  tangtx  14973  lgsquadlem1  15191  trirec0  15534  ltlenmkv  15560