Theorem gt0ap0d 8704

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8701	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   # cap 8656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8926  prodgt0  8927  ltdiv1  8943  ltmuldiv  8949  ledivmul  8952  lt2mul2div  8954  lemuldiv  8956  ltrec  8958  lerec  8959  ltrec1  8963  lerec2  8964  ledivdiv  8965  lediv2  8966  ltdiv23  8967  lediv23  8968  lediv12a  8969  recp1lt1  8974  ledivp1  8978  nnap0  9067  rpap0  9794  modq0  10476  mulqmod0  10477  negqmod0  10478  modqlt  10480  modqdiffl  10482  modqid0  10497  modqcyc  10506  modqmuladdnn0  10515  q2txmodxeq0  10531  modqdi  10539  ltexp2a  10738  leexp2a  10739  expnbnd  10810  expcanlem  10862  expcan  10863  resqrexlemover  11354  resqrexlemcalc1  11358  resqrexlemcalc2  11359  ltabs  11431  divcnv  11841  expcnvre  11847  georeclim  11857  geoisumr  11862  cvgratnnlembern  11867  cvgratnnlemfm  11873  cvgratz  11876  cnopnap  15116  reeff1oleme  15277  tangtx  15343  mersenne  15502  perfectlem2  15505  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  trirec0  16020  ltlenmkv  16046