Theorem gt0ap0d 8737

Description: Positive implies apart from zero. Because of the way we define #, A must be an element of RR, not just RR*. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0d.1	|- ( ph -> A e. RR )
gt0ap0d.2	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem gt0ap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		gt0ap0d.2	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		gt0ap0 8734	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   0cc0 7960   < clt 8142   # cap 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690

This theorem is referenced by:  prodgt0gt0  8959  prodgt0  8960  ltdiv1  8976  ltmuldiv  8982  ledivmul  8985  lt2mul2div  8987  lemuldiv  8989  ltrec  8991  lerec  8992  ltrec1  8996  lerec2  8997  ledivdiv  8998  lediv2  8999  ltdiv23  9000  lediv23  9001  lediv12a  9002  recp1lt1  9007  ledivp1  9011  nnap0  9100  rpap0  9827  modq0  10511  mulqmod0  10512  negqmod0  10513  modqlt  10515  modqdiffl  10517  modqid0  10532  modqcyc  10541  modqmuladdnn0  10550  q2txmodxeq0  10566  modqdi  10574  ltexp2a  10773  leexp2a  10774  expnbnd  10845  expcanlem  10897  expcan  10898  resqrexlemover  11436  resqrexlemcalc1  11440  resqrexlemcalc2  11441  ltabs  11513  divcnv  11923  expcnvre  11929  georeclim  11939  geoisumr  11944  cvgratnnlembern  11949  cvgratnnlemfm  11955  cvgratz  11958  cnopnap  15198  reeff1oleme  15359  tangtx  15425  mersenne  15584  perfectlem2  15587  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  trirec0  16185  ltlenmkv  16211