Theorem rerecclapd 8361

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivclapd.1	|- ( ph -> A e. RR )
rerecclapd.2	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
rerecclapd	|- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )

Proof of Theorem rerecclapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivclapd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rerecclapd.2	. 2 |- ( ph -> A # 0 )
3		rerecclap 8258	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 404	1 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   0cc0 7411   1c1 7412   # cap 8119   / cdiv 8200

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201

This theorem is referenced by:  recgt0  8372  prodgt0gt0  8373  ltdiv1  8390  ltrec  8405  lerec  8406  ltdiv2  8409  ltrec1  8410  lerec2  8411  lediv2  8413  lediv12a  8416  recreclt  8422  nnrecl  8732  expnlbnd  10139  cvgratnnlembern  10978  cvgratnnlemfm  10984