Theorem lmodfopnelem2 13420

Description: Lemma 2 for lmodfopne 13421. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 13419	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)
7	6	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
9	4, 5, 8	lmod0cl 13409	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	4, 5, 10	lmod1cl 13410	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
12	9, 11	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾))
13		eleq2 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ↔ 0 ∈ 𝐾))
14		eleq2 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 1 ∈ 𝑉 ↔ 1 ∈ 𝐾))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) ↔ ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾)))
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
17	7, 16	syld 45	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
18	17	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  Basecbs 12464  Scalarcsca 12541  0_gc0g 12710  +_𝑓cplusf 12777  1_rcur 13147  LModclmod 13382   ·_sf cscaf 13383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-plusf 12779  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-scaf 13385

This theorem is referenced by:  lmodfopne  13421