Theorem lmodfopnelem2 14664

Description: Lemma 2 for lmodfopne 14665. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 14663	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)
7	6	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
9	4, 5, 8	lmod0cl 14653	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	4, 5, 10	lmod1cl 14654	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
12	9, 11	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾))
13		eleq2 2302	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ↔ 0 ∈ 𝐾))
14		eleq2 2302	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 1 ∈ 𝑉 ↔ 1 ∈ 𝐾))
15	13, 14	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) ↔ ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾)))
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
17	7, 16	syld 45	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
18	17	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  Basecbs 13354  Scalarcsca 13436  0_gc0g 13612  +_𝑓cplusf 13675  1_rcur 14264  LModclmod 14625   ·_sf cscaf 14626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-0g 13614  df-plusf 13677  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-ring 14304  df-lmod 14627  df-scaf 14628

This theorem is used by:  lmodfopne  14665