Theorem lmodfopnelem2 13907

Description: Lemma 2 for lmodfopne 13908. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lmodfopne.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lmodfopne.1	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3		lmodfopne.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lmodfopne.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 13906	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)
7	6	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
9	4, 5, 8	lmod0cl 13896	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
11	4, 5, 10	lmod1cl 13897	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ 𝐾)
12	9, 11	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾))
13		eleq2 2260	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ↔ 0 ∈ 𝐾))
14		eleq2 2260	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → ( 1 ∈ 𝑉 ↔ 1 ∈ 𝐾))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑉 = 𝐾 → (( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) ↔ ( 0 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ 𝐾)))
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 = 𝐾 → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
17	7, 16	syld 45	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉)))
18	17	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → ( 0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  Basecbs 12689  Scalarcsca 12769  0_gc0g 12944  +_𝑓cplusf 13022  1_rcur 13541  LModclmod 13869   ·_sf cscaf 13870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-ltxr 8069  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-sca 12782  df-vsca 12783  df-0g 12946  df-plusf 13024  df-mgm 13025  df-sgrp 13071  df-mnd 13084  df-grp 13161  df-mgp 13503  df-ur 13542  df-ring 13580  df-lmod 13871  df-scaf 13872

This theorem is referenced by:  lmodfopne  13908