Theorem lmodgrp 13603

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2189	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2189	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2189	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2189	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2189	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2189	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2189	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 13600	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1014	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  Basecbs 12507  +_gcplusg 12582  ._rcmulr 12583  Scalarcsca 12585   ·_𝑠 cvsca 12586  Grpcgrp 12938  1_rcur 13306  Ringcrg 13343  LModclmod 13596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-ov 5895  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-lmod 13598

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  13606  lmodbn0  13607  lmodvacl  13611  lmodass  13612  lmodlcan  13613  lmod0vcl  13626  lmod0vlid  13627  lmod0vrid  13628  lmod0vid  13629  lmodvsmmulgdi  13632  lmodfopnelem1  13633  lmodfopne  13635  lmodvnegcl  13637  lmodvnegid  13638  lmodvsubcl  13641  lmodcom  13642  lmodabl  13643  lmodvpncan  13649  lmodvnpcan  13650  lmodsubeq0  13655  lmodsubid  13656  lmodprop2d  13657  lss1  13671  lsssubg  13686  islss3  13688  lspsnneg  13729  lspsnsub  13730  lmodindp1  13737