Theorem lmodgrp 14301

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2229	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14298	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1036	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  ._rcmulr 13154  Scalarcsca 13156   ·_𝑠 cvsca 13157  Grpcgrp 13576  1_rcur 13965  Ringcrg 14002  LModclmod 14294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-lmod 14296

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  14304  lmodbn0  14305  lmodvacl  14309  lmodass  14310  lmodlcan  14311  lmod0vcl  14324  lmod0vlid  14325  lmod0vrid  14326  lmod0vid  14327  lmodvsmmulgdi  14330  lmodfopnelem1  14331  lmodfopne  14333  lmodvnegcl  14335  lmodvnegid  14336  lmodvsubcl  14339  lmodcom  14340  lmodabl  14341  lmodvpncan  14347  lmodvnpcan  14348  lmodsubeq0  14353  lmodsubid  14354  lmodprop2d  14355  lss1  14369  lsssubg  14384  islss3  14386  lspsnneg  14427  lspsnsub  14428  lmodindp1  14435