ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodplusgd GIF version

Theorem lmodplusgd 12539
Description: The additive operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecfn.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b (𝜑𝐵𝑉)
lmodstr.g (𝜑+𝑋)
lmodstr.s (𝜑𝐹𝑌)
lmodstr.m (𝜑·𝑍)
Assertion
Ref Expression
lmodplusgd (𝜑+ = (+g𝑊))

Proof of Theorem lmodplusgd
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12499 . 2 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2 lvecfn.w . . 3 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3 lmodstr.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 lmodstr.g . . 3 (𝜑+𝑋)
5 lmodstr.s . . 3 (𝜑𝐹𝑌)
6 lmodstr.m . . 3 (𝜑·𝑍)
72, 3, 4, 5, 6lmodstrd 12537 . 2 (𝜑𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
81simpri 112 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
9 opexg 4211 . . . . 5 (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
108, 4, 9sylancr 412 . . . 4 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
11 tpid2g 3695 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩})
12 elun1 3294 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
1310, 11, 123syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
1413, 2eleqtrrdi 2264 . 2 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑊)
151, 7, 4, 14opelstrsl 12500 1 (𝜑+ = (+g𝑊))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  cun 3119  {csn 3581  {ctp 3583  cop 3584  cfv 5196  1c1 7762  cn 8865  6c6 8920  ndxcnx 12400  Slot cslot 12402  Basecbs 12403  +gcplusg 12466  Scalarcsca 12469   ·𝑠 cvsca 12470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-struct 12405  df-ndx 12406  df-slot 12407  df-base 12409  df-plusg 12479  df-sca 12482  df-vsca 12483
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator