Theorem lmodplusgd 11793

Description: The additive operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodplusgd	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))

Proof of Theorem lmodplusgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgslid 11753	. 2 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2		lvecfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3		lmodstr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		lmodstr.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
5		lmodstr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
6		lmodstr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 11791	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
8	1	simpri 112	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4079	. . . . 5 ⊢ (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
10	8, 4, 9	sylancr 406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
11		tpid2g 3576	. . . 4 ⊢ (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩})
12		elun1 3182	. . . 4 ⊢ (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
14	13, 2	syl6eleqr 2188	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑊)
15	1, 7, 4, 14	opelstrsl 11754	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∪ cun 3011  {csn 3466  {ctp 3468  ⟨cop 3469  ‘cfv 5049  1c1 7448  ℕcn 8520  6c6 8575  ndxcnx 11655  Slot cslot 11657  Basecbs 11658  +_gcplusg 11720  Scalarcsca 11723   ·_𝑠 cvsca 11724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11660  df-ndx 11661  df-slot 11662  df-base 11664  df-plusg 11733  df-sca 11736  df-vsca 11737

This theorem is referenced by: (None)