Theorem lmodscad 12554

Description: The set of scalars of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodscad	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem lmodscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12547	. 2 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2		lvecfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3		lmodstr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		lmodstr.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
5		lmodstr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
6		lmodstr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 12551	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
8	1	simpri 112	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4213	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝑌) → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ V)
10	8, 5, 9	sylancr 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ V)
11		tpid3g 3698	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ V → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩})
12		elun1 3294	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ 𝑊)
15	1, 7, 5, 14	opelstrsl 12514	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119  {csn 3583  {ctp 3585  ⟨cop 3586  ‘cfv 5198  1c1 7775  ℕcn 8878  6c6 8933  ndxcnx 12413  Slot cslot 12415  Basecbs 12416  +_gcplusg 12480  Scalarcsca 12483   ·_𝑠 cvsca 12484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-struct 12418  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-sca 12496  df-vsca 12497

This theorem is referenced by: (None)