Theorem lmodscad 12547

Description: The set of scalars of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodscad	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem lmodscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12540	. 2 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2		lvecfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3		lmodstr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		lmodstr.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
5		lmodstr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
6		lmodstr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 12544	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
8	1	simpri 112	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4211	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝑌) → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ V)
10	8, 5, 9	sylancr 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ V)
11		tpid3g 3696	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ V → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩})
12		elun1 3294	. . . 4 ⊢ (⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩ ∈ 𝑊)
15	1, 7, 5, 14	opelstrsl 12507	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119  {csn 3581  {ctp 3583  ⟨cop 3584  ‘cfv 5196  1c1 7768  ℕcn 8871  6c6 8926  ndxcnx 12406  Slot cslot 12408  Basecbs 12409  +_gcplusg 12473  Scalarcsca 12476   ·_𝑠 cvsca 12477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-5 8933  df-6 8934  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-struct 12411  df-ndx 12412  df-slot 12413  df-base 12415  df-plusg 12486  df-sca 12489  df-vsca 12490

This theorem is referenced by: (None)