Theorem lmodvs1 14336

Description: Scalar product with the ring unity. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvs1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvs1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem lmodvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		lmodvs1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	2, 3, 4	lmod1cl 14335	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lmodvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lmodvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
12		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13	8, 9, 10, 2, 3, 11, 12, 4	lmodlema 14312	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋)))
14	13	simprrd 534	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
15	1, 6, 6, 7, 7, 14	syl122anc 1282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  ._rcmulr 13166  Scalarcsca 13168   ·_𝑠 cvsca 13169  1_rcur 13978  LModclmod 14307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017  df-lmod 14309

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14346  lmodvneg1  14350  lmodcom  14353  lssvacl  14385  islss3  14399  lspsn  14436