Theorem lmodvsubval2 14679

Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubval2.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsubval2.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvsubval2.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodvsubval2.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsubval2.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsubval2.n	|- N = ( invg ` F )
lmodvsubval2.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubval2	|- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( N ` .1. ) .x. B ) ) )

Proof of Theorem lmodvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsubval2.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lmodvsubval2.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
4		lmodvsubval2.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13851	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( invg ` W ) ` B ) ) )
6	5	3adant1 1046	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( invg ` W ) ` B ) ) )
7		lmodvsubval2.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodvsubval2.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		lmodvsubval2.u	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` F )
10		lmodvsubval2.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` F )
11	1, 3, 7, 8, 9, 10	lmodvneg1 14667	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. V ) -> ( ( N ` .1. ) .x. B ) = ( ( invg ` W ) ` B ) )
12	11	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( N ` .1. ) .x. B ) = ( ( invg ` W ) ` B ) )
13	12	oveq2d 6101	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .+ ( ( N ` .1. ) .x. B ) ) = ( A .+ ( ( invg ` W ) ` B ) ) )
14	6, 13	eqtr4d 2274	1 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( N ` .1. ) .x. B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   invgcminusg 13806   -gcsg 13807   1rcur 14262   LModclmod 14623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-lmod 14625

This theorem is used by:  lmodsubvs  14680  lmodsubdi  14681  lmodsubdir  14682  lssvsubcl  14703