Theorem lmodvsubval2 14355

Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubval2.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsubval2.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvsubval2.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodvsubval2.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsubval2.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsubval2.n	|- N = ( invg ` F )
lmodvsubval2.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubval2	|- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( N ` .1. ) .x. B ) ) )

Proof of Theorem lmodvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsubval2.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lmodvsubval2.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
4		lmodvsubval2.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13628	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( invg ` W ) ` B ) ) )
6	5	3adant1 1041	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( invg ` W ) ` B ) ) )
7		lmodvsubval2.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodvsubval2.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		lmodvsubval2.u	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` F )
10		lmodvsubval2.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` F )
11	1, 3, 7, 8, 9, 10	lmodvneg1 14343	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. V ) -> ( ( N ` .1. ) .x. B ) = ( ( invg ` W ) ` B ) )
12	11	3adant2 1042	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( N ` .1. ) .x. B ) = ( ( invg ` W ) ` B ) )
13	12	oveq2d 6033	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .+ ( ( N ` .1. ) .x. B ) ) = ( A .+ ( ( invg ` W ) ` B ) ) )
14	6, 13	eqtr4d 2267	1 |- ( ( W e. LMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A .- B ) = ( A .+ ( ( N ` .1. ) .x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   invgcminusg 13583   -gcsg 13584   1rcur 13971   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302

This theorem is referenced by:  lmodsubvs  14356  lmodsubdi  14357  lmodsubdir  14358  lssvsubcl  14379