Theorem lmodvsubval2 13683

Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubval2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsubval2.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodvsubval2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsubval2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsubval2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodvsubval2.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubval2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)))

Proof of Theorem lmodvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsubval2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsubval2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
4		lmodvsubval2.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
6	5	3adant1 1017	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
7		lmodvsubval2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodvsubval2.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodvsubval2.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
10		lmodvsubval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
11	1, 3, 7, 8, 9, 10	lmodvneg1 13671	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘𝐵))
12	11	3adant2 1018	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘𝐵))
13	12	oveq2d 5916	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
14	6, 13	eqtr4d 2225	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  Basecbs 12523  +_gcplusg 12600  Scalarcsca 12603   ·_𝑠 cvsca 12604  inv_gcminusg 12969  -_gcsg 12970  1_rcur 13338  LModclmod 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-sbg 12973  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-ring 13377  df-lmod 13630

This theorem is referenced by:  lmodsubvs  13684  lmodsubdi  13685  lmodsubdir  13686  lssvsubcl  13707