Theorem lmodvsubval2 14789

Description: Value of vector subtraction in terms of addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubval2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsubval2.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodvsubval2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsubval2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsubval2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodvsubval2.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubval2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)))

Proof of Theorem lmodvsubval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsubval2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsubval2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
4		lmodvsubval2.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
6	5	3adant1 1046	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
7		lmodvsubval2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodvsubval2.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodvsubval2.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
10		lmodvsubval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
11	1, 3, 7, 8, 9, 10	lmodvneg1 14777	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘𝐵))
12	11	3adant2 1047	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘𝐵))
13	12	oveq2d 6104	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐵)))
14	6, 13	eqtr4d 2274	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  Scalarcsca 13494   ·_𝑠 cvsca 13495  inv_gcminusg 13866  -_gcsg 13867  1_rcur 14370  LModclmod 14733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-lmod 14735

This theorem is used by:  lmodsubvs  14790  lmodsubdi  14791  lmodsubdir  14792  lssvsubcl  14813