ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspprid1 GIF version

Theorem lspprid1 13563
Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprid.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprid.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprid.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lspprid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprid.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprid1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))

Proof of Theorem lspprid1
StepHypRef Expression
1 lspprid.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lspprid.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lspprid.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
42, 3prssd 3763 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
5 snsspr1 3752 . . . 4 {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}
65a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ})
7 lspprid.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lspprid.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 8lspss 13551 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
101, 4, 6, 9syl3anc 1248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
11 eqid 2187 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
127, 11, 8, 1, 2, 3lspprcl 13545 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
137, 11, 8, 1, 12, 2lspsnel5 13561 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
1410, 13mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   βŠ† wss 3141  {csn 3604  {cpr 3605  β€˜cfv 5228  Basecbs 12475  LModclmod 13439  LSubSpclss 13504  LSpanclspn 13538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539
This theorem is referenced by:  lspprid2  13564  lspprvacl  13565
  Copyright terms: Public domain W3C validator