Theorem lspprid1 14383

Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprid.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprid1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprid.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspprid.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	2, 3	prssd 3827	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5		snsspr1 3816	. . . 4 ⊢ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
7		lspprid.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspprid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	7, 8	lspss 14371	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		eqid 2229	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
12	7, 11, 8, 1, 2, 3	lspprcl 14365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	7, 11, 8, 1, 12, 2	lspsnel5 14381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
14	10, 13	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666  {cpr 3667  ‘cfv 5318  Basecbs 13040  LModclmod 14259  LSubSpclss 14324  LSpanclspn 14358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-lsp 14359

This theorem is referenced by:  lspprid2  14384  lspprvacl  14385