Theorem lspsncl 14224

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 14223). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. S )

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3782	. 2 |- ( X e. V -> { X } C_ V )
2		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5	2, 3, 4	lspcl 14223	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> ( N ` { X } ) e. S )
6	1, 5	sylan2 286	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   {csn 3637   ` cfv 5279   Basecbs 12902   LModclmod 14119   LSubSpclss 14184   LSpanclspn 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-sca 12995  df-vsca 12996  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405  df-minusg 13406  df-sbg 13407  df-mgp 13753  df-ur 13792  df-ring 13830  df-lmod 14121  df-lssm 14185  df-lsp 14219

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  14228  lspsneli  14247  lspsn  14248  lspsnss2  14251