Theorem lspcl 14539

Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspcl	|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) e. S )

Proof of Theorem lspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspf 14537	. . 3 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> N : ~P V --> S )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ V )
7		basfn 13271	. . . . . 6 |- Base Fn _V
8		elex 2825	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. _V )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> W e. _V )
10		funfvex 5687	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
11	10	funfni 5458	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	7, 9, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	1, 12	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> V e. _V )
14		elpw2g 4268	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	6, 15	mpbird 167	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U e. ~P V )
17	5, 16	ffvelcdmd 5813	1 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352   Basecbs 13212   LModclmod 14435   LSubSpclss 14500   LSpanclspn 14534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437  df-lssm 14501  df-lsp 14535

This theorem is referenced by:  lspsncl  14540  lspprcl  14541  lsptpcl  14542  lspssv  14546  lspidm  14549  lspsnvsi  14566  lsp0  14571  lspun0  14573  lsslsp  14577  rspcl  14639