Theorem lspcl 14395

Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspcl	|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) e. S )

Proof of Theorem lspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspf 14393	. . 3 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> N : ~P V --> S )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ V )
7		basfn 13131	. . . . . 6 |- Base Fn _V
8		elex 2812	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. _V )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> W e. _V )
10		funfvex 5652	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
11	10	funfni 5429	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	7, 9, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	1, 12	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> V e. _V )
14		elpw2g 4244	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	6, 15	mpbird 167	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U e. ~P V )
17	5, 16	ffvelcdmd 5779	1 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324   Basecbs 13072   LModclmod 14291   LSubSpclss 14356   LSpanclspn 14390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-lmod 14293  df-lssm 14357  df-lsp 14391

This theorem is referenced by:  lspsncl  14396  lspprcl  14397  lsptpcl  14398  lspssv  14402  lspidm  14405  lspsnvsi  14422  lsp0  14427  lspun0  14429  lsslsp  14433  rspcl  14495