Theorem lspcl 13575

Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspcl	|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) e. S )

Proof of Theorem lspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lspval.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspf 13573	. . 3 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> N : ~P V --> S )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ V )
7		basfn 12533	. . . . . 6 |- Base Fn _V
8		elex 2760	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. _V )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> W e. _V )
10		funfvex 5544	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
11	10	funfni 5328	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	7, 9, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	1, 12	eqeltrid 2274	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> V e. _V )
14		elpw2g 4168	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	6, 15	mpbird 167	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U e. ~P V )
17	5, 16	ffvelcdmd 5665	1 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   ~Pcpw 3587   Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228   Basecbs 12475   LModclmod 13471   LSubSpclss 13536   LSpanclspn 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537  df-lsp 13571

This theorem is referenced by:  lspsncl  13576  lspprcl  13577  lsptpcl  13578  lspssv  13582  lspidm  13585  lspsnvsi  13602  lsp0  13607  lspun0  13609  lsslsp  13613  rspcl  13675