ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspcl Unicode version

Theorem lspcl 13575
Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  e.  S )

Proof of Theorem lspcl
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspval.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspval.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
41, 2, 3lspf 13573 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
54adantr 276 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  N : ~P V --> S )
6 simpr 110 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  V )
7 basfn 12533 . . . . . 6  |-  Base  Fn  _V
8 elex 2760 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
_V )
98adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  W  e.  _V )
10 funfvex 5544 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  Base  /\  W  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
1110funfni 5328 . . . . . 6  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
127, 9, 11sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
131, 12eqeltrid 2274 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  V  e.  _V )
14 elpw2g 4168 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  ( U  e.  ~P V  <->  U 
C_  V ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( U  e.  ~P V  <->  U 
C_  V ) )
166, 15mpbird 167 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  e.  ~P V )
175, 16ffvelcdmd 5665 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   _Vcvv 2749    C_ wss 3141   ~Pcpw 3587    Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228   Basecbs 12475   LModclmod 13471   LSubSpclss 13536   LSpanclspn 13570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537  df-lsp 13571
This theorem is referenced by:  lspsncl  13576  lspprcl  13577  lsptpcl  13578  lspssv  13582  lspidm  13585  lspsnvsi  13602  lsp0  13607  lspun0  13609  lsslsp  13613  rspcl  13675
  Copyright terms: Public domain W3C validator