Theorem lspsncl 14239

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 14238). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3783	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 14238	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 286	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3170  {csn 3638  ‘cfv 5285  Basecbs 12917  LModclmod 14134  LSubSpclss 14199  LSpanclspn 14233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422  df-mgp 13768  df-ur 13807  df-ring 13845  df-lmod 14136  df-lssm 14200  df-lsp 14234

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  14243  lspsneli  14262  lspsn  14263  lspsnss2  14266