Theorem lidlacl 14456

Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlacl	|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) e. I )

Proof of Theorem lidlacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlacl.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
2		rlmplusgg 14428	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
3	1, 2	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .+ = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
4	3	oveqd 6024	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) )
5	4	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) )
6		rlmlmod 14436	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
9		lidlcl.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
10		lidlvalg 14443	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
13	8, 12	eleqtrd 2308	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
14	7, 13	jca 306	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
15		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` (ringLMod ` R ) ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) )
16		eqid 2229	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
17	15, 16	lssvacl 14337	. . 3 |- ( ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) e. I )
18	14, 17	sylan 283	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) e. I )
19	5, 18	eqeltrd 2306	1 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   +g cplusg 13118   Ringcrg 13967   LModclmod 14259   LSubSpclss 14324  ringLModcrglmod 14406  LIdealclidl 14439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-subg 13715  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-subrg 14191  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-sra 14407  df-rgmod 14408  df-lidl 14441

This theorem is referenced by:  lidlsubg  14458