Theorem lidlacl 14823

Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlacl	|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) e. I )

Proof of Theorem lidlacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlacl.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
2		rlmplusgg 14795	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
3	1, 2	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .+ = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
4	3	oveqd 6102	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) )
5	4	ad2antrr 492	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) )
6		rlmlmod 14803	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
9		lidlcl.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
10		lidlvalg 14810	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
13	8, 12	eleqtrd 2317	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
14	7, 13	jca 306	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
15		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` (ringLMod ` R ) ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) )
16		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
17	15, 16	lssvacl 14704	. . 3 |- ( ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) e. I )
18	14, 17	sylan 283	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) e. I )
19	5, 18	eqeltrd 2315	1 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) e. I )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   +g cplusg 13433   Ringcrg 14302   LModclmod 14625   LSubSpclss 14691  ringLModcrglmod 14773  LIdealclidl 14806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-ring 14304  df-subrg 14529  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808

This theorem is used by:  lidlsubg  14825