Theorem lidlacl 14442

Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlacl	|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) e. I )

Proof of Theorem lidlacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlacl.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
2		rlmplusgg 14414	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
3	1, 2	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .+ = ( +g ` (ringLMod ` R ) ) )
4	3	oveqd 6017	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) )
5	4	ad2antrr 488	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) = ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) )
6		rlmlmod 14422	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
9		lidlcl.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
10		lidlvalg 14429	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
13	8, 12	eleqtrd 2308	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
14	7, 13	jca 306	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
15		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` (ringLMod ` R ) ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) )
16		eqid 2229	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
17	15, 16	lssvacl 14323	. . 3 |- ( ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) e. I )
18	14, 17	sylan 283	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X ( +g ` (ringLMod ` R ) ) Y ) e. I )
19	5, 18	eqeltrd 2306	1 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .+ Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   +g cplusg 13105   Ringcrg 13954   LModclmod 14245   LSubSpclss 14310  ringLModcrglmod 14392  LIdealclidl 14425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-ip 13123  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-subg 13702  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-subrg 14177  df-lmod 14247  df-lssm 14311  df-sra 14393  df-rgmod 14394  df-lidl 14427

This theorem is referenced by:  lidlsubg  14444