Theorem lssvacl 14197

Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvacl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvacl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvacl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lssvacl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lsselg 14193	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 14148	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
13	12	oveq1d 5971	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
14		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15	8, 14, 10	lmod1cl 14147	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	15	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18		lssvacl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
19	8, 14, 18, 9, 5	lssclg 14196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
20	1, 2, 16, 3, 17, 19	syl113anc 1262	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
21	13, 20	eqeltrrd 2284	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  Basecbs 12902  +_gcplusg 12979  Scalarcsca 12982   ·_𝑠 cvsca 12983  1_rcur 13791  LModclmod 14119  LSubSpclss 14184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-sca 12995  df-vsca 12996  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-mgp 13753  df-ur 13792  df-ring 13830  df-lmod 14121  df-lssm 14185

This theorem is referenced by:  lsssubg  14209  lspprvacl  14245  lidlacl  14316