Theorem lssvancl2 13461

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssvancl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssvancl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lssvancl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lssvancl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lsselg 13454	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lssvancl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		lssvancl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	4, 9	lmodcom 13429	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12		lssvancl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
13	4, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12	lssvancl1 13460	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
14	11, 13	eqneltrrd 2274	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  +_gcplusg 12539  LModclmod 13383  LSubSpclss 13448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887  df-sbg 12888  df-cmn 13096  df-abl 13097  df-mgp 13137  df-ur 13149  df-ring 13187  df-lmod 13385  df-lssm 13449

This theorem is referenced by: (None)