Theorem lt0neg1d 8446

Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lt0neg1d	|- ( ph -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )

Proof of Theorem lt0neg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		lt0neg1 8399	. 2 |- ( A e. RR -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   RRcr 7785   0cc0 7786   < clt 7966   -ucneg 8103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-sub 8104  df-neg 8105

This theorem is referenced by:  reapmul1  8526  recgt0  8780  prodgt0  8782  prodge0  8784  elnn0z  9239  ztri3or0  9268  exp3val  10492  expnegap0  10498  resqrexlemgt0  10997  climge0  11301  zdvdsdc  11787  divalglemex  11894  divalglemeuneg  11895  mulgval  12847  mulgfng  12848  sincosq4sgn  13821  sinq34lt0t  13823  coseq0negpitopi  13828  lgsdilem  13999