ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt0neg1d Unicode version

Theorem lt0neg1d 8284
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lt0neg1d  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )

Proof of Theorem lt0neg1d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 lt0neg1 8237 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
31, 2syl 14 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7626   0cc0 7627    < clt 7807   -ucneg 7941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by:  reapmul1  8364  recgt0  8615  prodgt0  8617  prodge0  8619  elnn0z  9074  ztri3or0  9103  exp3val  10302  expnegap0  10308  resqrexlemgt0  10799  climge0  11101  zdvdsdc  11520  divalglemex  11625  divalglemeuneg  11626  sincosq4sgn  12926  sinq34lt0t  12928  coseq0negpitopi  12933
  Copyright terms: Public domain W3C validator