Theorem lt0neg1d 8809

Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lt0neg1d	|- ( ph -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )

Proof of Theorem lt0neg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		lt0neg1 8762	. 2 |- ( A e. RR -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4115   RRcr 8144   0cc0 8145   < clt 8326   -ucneg 8464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-sub 8465  df-neg 8466

This theorem is referenced by:  reapmul1  8889  recgt0  9146  prodgt0  9148  prodge0  9150  elnn0z  9612  ztri3or0  9641  exp3val  10932  expnegap0  10938  resqrexlemgt0  11736  climge0  12041  zdvdsdc  12529  divalglemex  12639  divalglemeuneg  12640  bitsfzo  12672  mulgval  13881  mulgfng  13883  subgmulg  13947  sincosq4sgn  15826  sinq34lt0t  15828  coseq0negpitopi  15833  lgsdilem  16032  dichmul0orlem6  16644