Theorem ltanqg 7469

Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltanqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7417	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4037	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 5931	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) )
4	3	breq1d 4044	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 4038	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 5931	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) )
8	7	breq2d 4046	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) ) )
10		oveq1 5930	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) = ( C +Q A ) )
11		oveq1 5930	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) = ( C +Q B ) )
12	10, 11	breq12d 4047	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) ) )
14		addclpi 7396	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f +N g ) e. N. )
16		simp3l 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
17		simp1r 1024	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
18		mulclpi 7397	. . . . . 6 |- ( ( v e. N. /\ y e. N. ) -> ( v .N y ) e. N. )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N y ) e. N. )
20		simp3r 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
21		simp1l 1023	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
22		mulclpi 7397	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ x e. N. ) -> ( u .N x ) e. N. )
23	20, 21, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N x ) e. N. )
24	15, 19, 23	caovcld 6078	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. )
25		mulclpi 7397	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ y e. N. ) -> ( u .N y ) e. N. )
26	20, 17, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
27		mulclpi 7397	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
29		simp2r 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
30	28, 16, 29	caovcld 6078	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N w ) e. N. )
31		simp2l 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32		mulclpi 7397	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ z e. N. ) -> ( u .N z ) e. N. )
33	20, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N z ) e. N. )
34	15, 30, 33	caovcld 6078	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. )
35		mulclpi 7397	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( u .N w ) e. N. )
36	20, 29, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
37		ordpipqqs 7443	. . . 4 |- ( ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
38	24, 26, 34, 36, 37	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
39		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
40		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x e. N. /\ y e. N. ) )
41		addpipqqs 7439	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
42	39, 40, 41	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
43		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
44		addpipqqs 7439	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
46	42, 45	breq12d 4047	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
47		ordpipqqs 7443	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
48	47	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
49		mulclpi 7397	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
50	21, 29, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
51		mulclpi 7397	. . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
52	17, 31, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
53		mulclpi 7397	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ u e. N. ) -> ( u .N u ) e. N. )
54	20, 20, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N u ) e. N. )
55		ltmpig 7408	. . . . 5 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( u .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
57		mulclpi 7397	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N x ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
58	23, 36, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
59		mulclpi 7397	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N y ) e. N. /\ ( u .N z ) e. N. ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
60	26, 33, 59	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
61		mulclpi 7397	. . . . . . 7 |- ( ( ( v .N y ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
62	19, 36, 61	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
63		ltapig 7407	. . . . . 6 |- ( ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. /\ ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
65		mulcompig 7400	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
66	65	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
67		mulasspig 7401	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
69	20, 20, 21, 66, 68, 29, 28	caov4d 6109	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) = ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) )
70	20, 20, 17, 66, 68, 31, 28	caov4d 6109	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) = ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) )
71	69, 70	breq12d 4047	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
72		distrpig 7402	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
74	73, 19, 23, 36, 15, 66	caovdir2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) )
75	73, 26, 30, 33	caovdid 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
76	20, 17, 16, 66, 68, 29, 28	caov411d 6110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) = ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) )
77	76	oveq1d 5938	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
78	75, 77	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
79	74, 78	breq12d 4047	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
80	64, 71, 79	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
81	48, 56, 80	3bitrd 214	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
82	38, 46, 81	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
83	1, 5, 9, 13, 82	3ecoptocl 6684	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3626   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   [cec 6591   N.cnpi 7341   +N cpli 7342   .N cmi 7343   <N clti 7344   ~Q ceq 7348   Q.cnq 7349   +Q cplq 7351   <Q cltq 7354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 7373  df-pli 7374  df-mi 7375  df-lti 7376  df-plpq 7413  df-enq 7416  df-nqqs 7417  df-plqqs 7418  df-ltnqqs 7422

This theorem is referenced by:  ltanqi  7471  lt2addnq  7473  ltaddnq  7476  prarloclemlt  7562  prarloclemcalc  7571  addlocprlemgt  7603  addclpr  7606  prmuloclemcalc  7634  distrlem4prl  7653  distrlem4pru  7654  ltexprlemopl  7670  ltexprlemopu  7672  ltexprlemdisj  7675  ltexprlemloc  7676  ltexprlemfl  7678  ltexprlemfu  7680  aptiprleml  7708  aptiprlemu  7709  cauappcvgprlemopl  7715  cauappcvgprlemlol  7716  cauappcvgprlemdisj  7720  cauappcvgprlemloc  7721  cauappcvgprlemladdfu  7723  cauappcvgprlemladdru  7725  cauappcvgprlemladdrl  7726  cauappcvgprlem1  7728  caucvgprlemnkj  7735  caucvgprlemnbj  7736  caucvgprlemm  7737  caucvgprlemopl  7738  caucvgprlemlol  7739  caucvgprlemloc  7744  caucvgprlemladdfu  7746  caucvgprlemladdrl  7747  caucvgprprlemml  7763  caucvgprprlemopl  7766  caucvgprprlemlol  7767