Theorem ltanqg 7460

Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltanqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7408	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4032	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 5926	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) )
4	3	breq1d 4039	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 4033	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 5926	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) )
8	7	breq2d 4041	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) ) )
10		oveq1 5925	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) = ( C +Q A ) )
11		oveq1 5925	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) = ( C +Q B ) )
12	10, 11	breq12d 4042	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) ) )
14		addclpi 7387	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f +N g ) e. N. )
16		simp3l 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
17		simp1r 1024	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
18		mulclpi 7388	. . . . . 6 |- ( ( v e. N. /\ y e. N. ) -> ( v .N y ) e. N. )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N y ) e. N. )
20		simp3r 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
21		simp1l 1023	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
22		mulclpi 7388	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ x e. N. ) -> ( u .N x ) e. N. )
23	20, 21, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N x ) e. N. )
24	15, 19, 23	caovcld 6072	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. )
25		mulclpi 7388	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ y e. N. ) -> ( u .N y ) e. N. )
26	20, 17, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
27		mulclpi 7388	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
29		simp2r 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
30	28, 16, 29	caovcld 6072	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N w ) e. N. )
31		simp2l 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32		mulclpi 7388	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ z e. N. ) -> ( u .N z ) e. N. )
33	20, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N z ) e. N. )
34	15, 30, 33	caovcld 6072	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. )
35		mulclpi 7388	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( u .N w ) e. N. )
36	20, 29, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
37		ordpipqqs 7434	. . . 4 |- ( ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
38	24, 26, 34, 36, 37	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
39		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
40		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x e. N. /\ y e. N. ) )
41		addpipqqs 7430	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
42	39, 40, 41	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
43		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
44		addpipqqs 7430	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
46	42, 45	breq12d 4042	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
47		ordpipqqs 7434	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
48	47	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
49		mulclpi 7388	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
50	21, 29, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
51		mulclpi 7388	. . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
52	17, 31, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
53		mulclpi 7388	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ u e. N. ) -> ( u .N u ) e. N. )
54	20, 20, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N u ) e. N. )
55		ltmpig 7399	. . . . 5 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( u .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
57		mulclpi 7388	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N x ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
58	23, 36, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
59		mulclpi 7388	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N y ) e. N. /\ ( u .N z ) e. N. ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
60	26, 33, 59	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
61		mulclpi 7388	. . . . . . 7 |- ( ( ( v .N y ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
62	19, 36, 61	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
63		ltapig 7398	. . . . . 6 |- ( ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. /\ ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
65		mulcompig 7391	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
66	65	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
67		mulasspig 7392	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
69	20, 20, 21, 66, 68, 29, 28	caov4d 6103	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) = ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) )
70	20, 20, 17, 66, 68, 31, 28	caov4d 6103	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) = ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) )
71	69, 70	breq12d 4042	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
72		distrpig 7393	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
74	73, 19, 23, 36, 15, 66	caovdir2d 6095	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) )
75	73, 26, 30, 33	caovdid 6094	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
76	20, 17, 16, 66, 68, 29, 28	caov411d 6104	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) = ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) )
77	76	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
78	75, 77	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
79	74, 78	breq12d 4042	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
80	64, 71, 79	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
81	48, 56, 80	3bitrd 214	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
82	38, 46, 81	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
83	1, 5, 9, 13, 82	3ecoptocl 6678	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3621   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   [cec 6585   N.cnpi 7332   +N cpli 7333   .N cmi 7334   <N clti 7335   ~Q ceq 7339   Q.cnq 7340   +Q cplq 7342   <Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  ltanqi  7462  lt2addnq  7464  ltaddnq  7467  prarloclemlt  7553  prarloclemcalc  7562  addlocprlemgt  7594  addclpr  7597  prmuloclemcalc  7625  distrlem4prl  7644  distrlem4pru  7645  ltexprlemopl  7661  ltexprlemopu  7663  ltexprlemdisj  7666  ltexprlemloc  7667  ltexprlemfl  7669  ltexprlemfu  7671  aptiprleml  7699  aptiprlemu  7700  cauappcvgprlemopl  7706  cauappcvgprlemlol  7707  cauappcvgprlemdisj  7711  cauappcvgprlemloc  7712  cauappcvgprlemladdfu  7714  cauappcvgprlemladdru  7716  cauappcvgprlemladdrl  7717  cauappcvgprlem1  7719  caucvgprlemnkj  7726  caucvgprlemnbj  7727  caucvgprlemm  7728  caucvgprlemopl  7729  caucvgprlemlol  7730  caucvgprlemloc  7735  caucvgprlemladdfu  7737  caucvgprlemladdrl  7738  caucvgprprlemml  7754  caucvgprprlemopl  7757  caucvgprprlemlol  7758