Theorem ltanqg 7109

Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltanqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7057	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3878	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 5714	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) )
4	3	breq1d 3885	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 234	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 3879	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 5714	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) )
8	7	breq2d 3887	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 234	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) ) )
10		oveq1 5713	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) = ( C +Q A ) )
11		oveq1 5713	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) = ( C +Q B ) )
12	10, 11	breq12d 3888	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
13	12	bibi2d 231	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) ) )
14		addclpi 7036	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
15	14	adantl 273	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f +N g ) e. N. )
16		simp3l 977	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
17		simp1r 974	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
18		mulclpi 7037	. . . . . 6 |- ( ( v e. N. /\ y e. N. ) -> ( v .N y ) e. N. )
19	16, 17, 18	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N y ) e. N. )
20		simp3r 978	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
21		simp1l 973	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
22		mulclpi 7037	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ x e. N. ) -> ( u .N x ) e. N. )
23	20, 21, 22	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N x ) e. N. )
24	15, 19, 23	caovcld 5856	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. )
25		mulclpi 7037	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ y e. N. ) -> ( u .N y ) e. N. )
26	20, 17, 25	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
27		mulclpi 7037	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
28	27	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
29		simp2r 976	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
30	28, 16, 29	caovcld 5856	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N w ) e. N. )
31		simp2l 975	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32		mulclpi 7037	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ z e. N. ) -> ( u .N z ) e. N. )
33	20, 31, 32	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N z ) e. N. )
34	15, 30, 33	caovcld 5856	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. )
35		mulclpi 7037	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( u .N w ) e. N. )
36	20, 29, 35	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
37		ordpipqqs 7083	. . . 4 |- ( ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
38	24, 26, 34, 36, 37	syl22anc 1185	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
39		simp3 951	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
40		simp1 949	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x e. N. /\ y e. N. ) )
41		addpipqqs 7079	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
42	39, 40, 41	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
43		simp2 950	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
44		addpipqqs 7079	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
45	39, 43, 44	syl2anc 406	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
46	42, 45	breq12d 3888	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
47		ordpipqqs 7083	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
48	47	3adant3 969	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
49		mulclpi 7037	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
50	21, 29, 49	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
51		mulclpi 7037	. . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
52	17, 31, 51	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
53		mulclpi 7037	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ u e. N. ) -> ( u .N u ) e. N. )
54	20, 20, 53	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N u ) e. N. )
55		ltmpig 7048	. . . . 5 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( u .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
57		mulclpi 7037	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N x ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
58	23, 36, 57	syl2anc 406	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
59		mulclpi 7037	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N y ) e. N. /\ ( u .N z ) e. N. ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
60	26, 33, 59	syl2anc 406	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
61		mulclpi 7037	. . . . . . 7 |- ( ( ( v .N y ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
62	19, 36, 61	syl2anc 406	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
63		ltapig 7047	. . . . . 6 |- ( ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. /\ ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
65		mulcompig 7040	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
66	65	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
67		mulasspig 7041	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
68	67	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
69	20, 20, 21, 66, 68, 29, 28	caov4d 5887	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) = ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) )
70	20, 20, 17, 66, 68, 31, 28	caov4d 5887	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) = ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) )
71	69, 70	breq12d 3888	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
72		distrpig 7042	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
73	72	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
74	73, 19, 23, 36, 15, 66	caovdir2d 5879	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) )
75	73, 26, 30, 33	caovdid 5878	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
76	20, 17, 16, 66, 68, 29, 28	caov411d 5888	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) = ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) )
77	76	oveq1d 5721	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
78	75, 77	eqtrd 2132	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
79	74, 78	breq12d 3888	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
80	64, 71, 79	3bitr4d 219	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
81	48, 56, 80	3bitrd 213	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
82	38, 46, 81	3bitr4rd 220	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
83	1, 5, 9, 13, 82	3ecoptocl 6448	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   <.cop 3477   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   [cec 6357   N.cnpi 6981   +N cpli 6982   .N cmi 6983   <N clti 6984   ~Q ceq 6988   Q.cnq 6989   +Q cplq 6991   <Q cltq 6994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-ltnqqs 7062

This theorem is referenced by:  ltanqi  7111  lt2addnq  7113  ltaddnq  7116  prarloclemlt  7202  prarloclemcalc  7211  addlocprlemgt  7243  addclpr  7246  prmuloclemcalc  7274  distrlem4prl  7293  distrlem4pru  7294  ltexprlemopl  7310  ltexprlemopu  7312  ltexprlemdisj  7315  ltexprlemloc  7316  ltexprlemfl  7318  ltexprlemfu  7320  aptiprleml  7348  aptiprlemu  7349  cauappcvgprlemopl  7355  cauappcvgprlemlol  7356  cauappcvgprlemdisj  7360  cauappcvgprlemloc  7361  cauappcvgprlemladdfu  7363  cauappcvgprlemladdru  7365  cauappcvgprlemladdrl  7366  cauappcvgprlem1  7368  caucvgprlemnkj  7375  caucvgprlemnbj  7376  caucvgprlemm  7377  caucvgprlemopl  7378  caucvgprlemlol  7379  caucvgprlemloc  7384  caucvgprlemladdfu  7386  caucvgprlemladdrl  7387  caucvgprprlemml  7403  caucvgprprlemopl  7406  caucvgprprlemlol  7407