ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg Unicode version

Theorem ltanqg 7402
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7350 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 4008 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
3 oveq2 5886 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A
) )
43breq1d 4015 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  <Q 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A ) 
<Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
52, 4bibi12d 235 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <-> 
( A  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A
)  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) ) )
6 breq2 4009 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 oveq2 5886 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
) )
87breq2d 4017 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A ) 
<Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B ) ) )
96, 8bibi12d 235 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
) ) ) )
10 oveq1 5885 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  =  ( C  +Q  A ) )
11 oveq1 5885 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B )  =  ( C  +Q  B ) )
1210, 11breq12d 4018 . . 3  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
)  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
1312bibi2d 232 . 2  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( ( A  <Q  B  <-> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) ) )
14 addclpi 7329 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  +N  g
)  e.  N. )
1514adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  +N  g
)  e.  N. )
16 simp3l 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
17 simp1r 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
18 mulclpi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( v  .N  y
)  e.  N. )
1916, 17, 18syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  y )  e.  N. )
20 simp3r 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
21 simp1l 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
22 mulclpi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( u  .N  x
)  e.  N. )
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  x )  e.  N. )
2415, 19, 23caovcld 6031 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  y )  +N  ( u  .N  x ) )  e. 
N. )
25 mulclpi 7330 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( u  .N  y
)  e.  N. )
2620, 17, 25syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  y )  e.  N. )
27 mulclpi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
2827adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
29 simp2r 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
3028, 16, 29caovcld 6031 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  w )  e.  N. )
31 simp2l 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
32 mulclpi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( u  .N  z
)  e.  N. )
3320, 31, 32syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  z )  e.  N. )
3415, 30, 33caovcld 6031 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  w )  +N  ( u  .N  z ) )  e. 
N. )
35 mulclpi 7330 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( u  .N  w
)  e.  N. )
3620, 29, 35syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  w )  e.  N. )
37 ordpipqqs 7376 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( v  .N  y )  +N  ( u  .N  x
) )  e.  N.  /\  ( u  .N  y
)  e.  N. )  /\  ( ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) )  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  <->  ( ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1239 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  <->  ( ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
39 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  e.  N.  /\  u  e. 
N. ) )
40 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N. ) )
41 addpipqqs 7372 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
43 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N. ) )
44 addpipqqs 7372 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
4539, 43, 44syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
4642, 45breq12d 4018 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  [ <. (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) ) ,  ( u  .N  w )
>. ]  ~Q  ) )
47 ordpipqqs 7376 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
48473adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
49 mulclpi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
5021, 29, 49syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  w )  e.  N. )
51 mulclpi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  e.  N. )
5217, 31, 51syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  z )  e.  N. )
53 mulclpi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( u  .N  u
)  e.  N. )
5420, 20, 53syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  u )  e.  N. )
55 ltmpig 7341 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N.  /\  ( u  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z )  <-> 
( ( u  .N  u )  .N  (
x  .N  w ) )  <N  ( (
u  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w ) 
<N  ( y  .N  z
)  <->  ( ( u  .N  u )  .N  ( x  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  u
)  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
57 mulclpi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  .N  x
)  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N. )
5823, 36, 57syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  x )  .N  ( u  .N  w ) )  e. 
N. )
59 mulclpi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  .N  y
)  e.  N.  /\  ( u  .N  z
)  e.  N. )  ->  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) )  e.  N. )
6026, 33, 59syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( u  .N  z ) )  e. 
N. )
61 mulclpi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( v  .N  y
)  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N. )
6219, 36, 61syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  y )  .N  ( u  .N  w ) )  e. 
N. )
63 ltapig 7340 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N.  /\  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) )  e.  N.  /\  ( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N. )  ->  ( ( ( u  .N  x )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) )  <-> 
( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) )  <N  ( (
( v  .N  y
)  .N  ( u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z
) ) ) ) )
6458, 60, 62, 63syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) )  <->  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) ) )  <N  (
( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
65 mulcompig 7333 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
6665adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
67 mulasspig 7334 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6867adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 6062 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  u )  .N  ( x  .N  w ) )  =  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) ) )
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 6062 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) ) )
7169, 70breq12d 4018 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  u
)  .N  ( x  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  u )  .N  (
y  .N  z ) )  <->  ( ( u  .N  x )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
72 distrpig 7335 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
f  .N  ( g  +N  h ) )  =  ( ( f  .N  g )  +N  ( f  .N  h
) ) )
7372adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
f  .N  ( g  +N  h ) )  =  ( ( f  .N  g )  +N  ( f  .N  h
) ) )
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 6054 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) )  =  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) ) )
7573, 26, 30, 33caovdid 6053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) ) )  =  ( ( ( u  .N  y )  .N  ( v  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( v  .N  w ) )  =  ( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) ) )
7776oveq1d 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  y
)  .N  ( v  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z
) ) )  =  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
7875, 77eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) ) )  =  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
7974, 78breq12d 4018 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) )  <->  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) ) )  <N  (
( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
8064, 71, 793bitr4d 220 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  u
)  .N  ( x  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  u )  .N  (
y  .N  z ) )  <->  ( ( ( v  .N  y )  +N  ( u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
8148, 56, 803bitrd 214 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) )  <N 
( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
8238, 46, 813bitr4rd 221 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6627 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   [cec 6536   N.cnpi 7274    +N cpli 7275    .N cmi 7276    <N clti 7277    ~Q ceq 7281   Q.cnq 7282    +Q cplq 7284    <Q cltq 7287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-ltnqqs 7355
This theorem is referenced by:  ltanqi  7404  lt2addnq  7406  ltaddnq  7409  prarloclemlt  7495  prarloclemcalc  7504  addlocprlemgt  7536  addclpr  7539  prmuloclemcalc  7567  distrlem4prl  7586  distrlem4pru  7587  ltexprlemopl  7603  ltexprlemopu  7605  ltexprlemdisj  7608  ltexprlemloc  7609  ltexprlemfl  7611  ltexprlemfu  7613  aptiprleml  7641  aptiprlemu  7642  cauappcvgprlemopl  7648  cauappcvgprlemlol  7649  cauappcvgprlemdisj  7653  cauappcvgprlemloc  7654  cauappcvgprlemladdfu  7656  cauappcvgprlemladdru  7658  cauappcvgprlemladdrl  7659  cauappcvgprlem1  7661  caucvgprlemnkj  7668  caucvgprlemnbj  7669  caucvgprlemm  7670  caucvgprlemopl  7671  caucvgprlemlol  7672  caucvgprlemloc  7677  caucvgprlemladdfu  7679  caucvgprlemladdrl  7680  caucvgprprlemml  7696  caucvgprprlemopl  7699  caucvgprprlemlol  7700
  Copyright terms: Public domain W3C validator