Theorem ltanqg 7401

Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltanqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7349	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4008	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 5885	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) )
4	3	breq1d 4015	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 4009	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 5885	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) )
8	7	breq2d 4017	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) ) )
10		oveq1 5884	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) = ( C +Q A ) )
11		oveq1 5884	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) = ( C +Q B ) )
12	10, 11	breq12d 4018	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) ) )
14		addclpi 7328	. . . . . 6 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f +N g ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f +N g ) e. N. )
16		simp3l 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
17		simp1r 1022	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
18		mulclpi 7329	. . . . . 6 |- ( ( v e. N. /\ y e. N. ) -> ( v .N y ) e. N. )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N y ) e. N. )
20		simp3r 1026	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
21		simp1l 1021	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
22		mulclpi 7329	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ x e. N. ) -> ( u .N x ) e. N. )
23	20, 21, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N x ) e. N. )
24	15, 19, 23	caovcld 6030	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. )
25		mulclpi 7329	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ y e. N. ) -> ( u .N y ) e. N. )
26	20, 17, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
27		mulclpi 7329	. . . . . . 7 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
29		simp2r 1024	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
30	28, 16, 29	caovcld 6030	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N w ) e. N. )
31		simp2l 1023	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
32		mulclpi 7329	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ z e. N. ) -> ( u .N z ) e. N. )
33	20, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N z ) e. N. )
34	15, 30, 33	caovcld 6030	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. )
35		mulclpi 7329	. . . . 5 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( u .N w ) e. N. )
36	20, 29, 35	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
37		ordpipqqs 7375	. . . 4 |- ( ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
38	24, 26, 34, 36, 37	syl22anc 1239	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
39		simp3 999	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
40		simp1 997	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x e. N. /\ y e. N. ) )
41		addpipqqs 7371	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
42	39, 40, 41	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
43		simp2 998	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
44		addpipqqs 7371	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
46	42, 45	breq12d 4018	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
47		ordpipqqs 7375	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
48	47	3adant3 1017	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
49		mulclpi 7329	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
50	21, 29, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
51		mulclpi 7329	. . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
52	17, 31, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
53		mulclpi 7329	. . . . . 6 |- ( ( u e. N. /\ u e. N. ) -> ( u .N u ) e. N. )
54	20, 20, 53	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N u ) e. N. )
55		ltmpig 7340	. . . . 5 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( u .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
57		mulclpi 7329	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N x ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
58	23, 36, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
59		mulclpi 7329	. . . . . . 7 |- ( ( ( u .N y ) e. N. /\ ( u .N z ) e. N. ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
60	26, 33, 59	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. )
61		mulclpi 7329	. . . . . . 7 |- ( ( ( v .N y ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
62	19, 36, 61	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. )
63		ltapig 7339	. . . . . 6 |- ( ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) e. N. /\ ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) e. N. /\ ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) e. N. ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
65		mulcompig 7332	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
66	65	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
67		mulasspig 7333	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
69	20, 20, 21, 66, 68, 29, 28	caov4d 6061	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) = ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) )
70	20, 20, 17, 66, 68, 31, 28	caov4d 6061	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) = ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) )
71	69, 70	breq12d 4018	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
72		distrpig 7334	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
73	72	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( f .N ( g +N h ) ) = ( ( f .N g ) +N ( f .N h ) ) )
74	73, 19, 23, 36, 15, 66	caovdir2d 6053	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) )
75	73, 26, 30, 33	caovdid 6052	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
76	20, 17, 16, 66, 68, 29, 28	caov411d 6062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) = ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) )
77	76	oveq1d 5892	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N y ) .N ( v .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
78	75, 77	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) = ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) )
79	74, 78	breq12d 4018	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) <-> ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N x ) .N ( u .N w ) ) ) <N ( ( ( v .N y ) .N ( u .N w ) ) +N ( ( u .N y ) .N ( u .N z ) ) ) ) )
80	64, 71, 79	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( u .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( u .N u ) .N ( y .N z ) ) <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
81	48, 56, 80	3bitrd 214	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( ( ( v .N y ) +N ( u .N x ) ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( ( v .N w ) +N ( u .N z ) ) ) ) )
82	38, 46, 81	3bitr4rd 221	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
83	1, 5, 9, 13, 82	3ecoptocl 6626	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   [cec 6535   N.cnpi 7273   +N cpli 7274   .N cmi 7275   <N clti 7276   ~Q ceq 7280   Q.cnq 7281   +Q cplq 7283   <Q cltq 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-ltnqqs 7354

This theorem is referenced by:  ltanqi  7403  lt2addnq  7405  ltaddnq  7408  prarloclemlt  7494  prarloclemcalc  7503  addlocprlemgt  7535  addclpr  7538  prmuloclemcalc  7566  distrlem4prl  7585  distrlem4pru  7586  ltexprlemopl  7602  ltexprlemopu  7604  ltexprlemdisj  7607  ltexprlemloc  7608  ltexprlemfl  7610  ltexprlemfu  7612  aptiprleml  7640  aptiprlemu  7641  cauappcvgprlemopl  7647  cauappcvgprlemlol  7648  cauappcvgprlemdisj  7652  cauappcvgprlemloc  7653  cauappcvgprlemladdfu  7655  cauappcvgprlemladdru  7657  cauappcvgprlemladdrl  7658  cauappcvgprlem1  7660  caucvgprlemnkj  7667  caucvgprlemnbj  7668  caucvgprlemm  7669  caucvgprlemopl  7670  caucvgprlemlol  7671  caucvgprlemloc  7676  caucvgprlemladdfu  7678  caucvgprlemladdrl  7679  caucvgprprlemml  7695  caucvgprprlemopl  7698  caucvgprprlemlol  7699