Theorem ltesubnnd 10188

Description: Subtracting an integer number from another number decreases it. See ltsubrpd 10148. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltesubnnd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
ltesubnnd.2	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
ltesubnnd	|- ( ph -> ( ( M + 1 ) - N ) <_ M )

Proof of Theorem ltesubnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltesubnnd.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	zcnd 9781	. . 3 |- ( ph -> M e. CC )
3		1cnd 8349	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
4		ltesubnnd.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nncnd 9328	. . 3 |- ( ph -> N e. CC )
6	2, 3, 5	addsubd 8666	. 2 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - N ) = ( ( M - N ) + 1 ) )
7	1	zred 9780	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
8	4	nnrpd 10113	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR+ )
9	7, 8	ltsubrpd 10148	. . 3 |- ( ph -> ( M - N ) < M )
10	4	nnzd 9779	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
11	1, 10	zsubcld 9785	. . . 4 |- ( ph -> ( M - N ) e. ZZ )
12		zltp1le 9711	. . . 4 |- ( ( ( M - N ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M - N ) < M <-> ( ( M - N ) + 1 ) <_ M ) )
13	11, 1, 12	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( M - N ) < M <-> ( ( M - N ) + 1 ) <_ M ) )
14	9, 13	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( ( M - N ) + 1 ) <_ M )
15	6, 14	eqbrtrd 4153	1 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - N ) <_ M )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   1c1 8187   + caddc 8189   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   NNcn 9314   ZZcz 9656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-rp 10073

This theorem is used by:  ballotfilemsel1i  13315  ballotfilemsf1o  13316