Theorem nnzd 9496

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9350	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9495	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   NNcn 9038   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  qapne  9762  qtri3or  10385  exbtwnzlemstep  10392  modifeq2int  10533  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  expnnval  10689  expnegap0  10694  expaddzaplem  10729  expmulzap  10732  facndiv  10886  bcval  10896  bcval5  10910  bcpasc  10913  caucvgre  11325  cvg1nlemcau  11328  cvg1nlemres  11329  resqrexlemdecn  11356  resqrexlemnmsq  11361  resqrexlemnm  11362  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemoverl  11365  sumeq2  11703  nnf1o  11720  summodclem3  11724  summodclem2a  11725  summodclem2  11726  summodc  11727  zsumdc  11728  fsum3  11731  fisumss  11736  fsum3cvg3  11740  fsumcl2lem  11742  fsumadd  11750  sumsnf  11753  fsummulc2  11792  bcxmas  11833  geo2lim  11860  cvgratnnlembern  11867  cvgratnnlemseq  11870  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  cvgratz  11876  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  prodeq2  11901  prodmodclem3  11919  prodmodclem2a  11920  prodmodclem2  11921  fprodseq  11927  fprodssdc  11934  fprodmul  11935  prodsnf  11936  eftcl  11998  eftlub  12034  eirraplem  12121  dvdsle  12188  fzm1ndvds  12200  dvdsfac  12204  dvdsmod  12206  divalglemeunn  12265  bitsfzolem  12298  bitsmod  12300  bitsfi  12301  bitscmp  12302  bitsinv1  12306  gcddvds  12317  gcdnncl  12321  gcd1  12341  dvdsgcdidd  12348  bezoutlemnewy  12350  bezoutlemstep  12351  mulgcd  12370  gcdmultiplez  12375  rplpwr  12381  rppwr  12382  sqgcd  12383  dvdssq  12385  uzwodc  12391  lcmneg  12429  lcmgcdlem  12432  ncoprmgcdne1b  12444  rpdvds  12454  congr  12455  cncongr1  12458  cncongr2  12459  prmz  12466  prmind2  12475  divgcdodd  12498  isprm6  12502  prmexpb  12506  prmfac1  12507  rpexp  12508  sqrt2irrlem  12516  pw2dvdslemn  12520  pw2dvdseulemle  12522  oddpwdclemxy  12524  oddpwdclemodd  12527  sqpweven  12530  2sqpwodd  12531  sqrt2irraplemnn  12534  numdensq  12557  phivalfi  12567  hashdvds  12576  phiprmpw  12577  crth  12579  phimullem  12580  eulerthlem1  12582  eulerthlemfi  12583  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  eulerthlemh  12586  eulerthlemth  12587  eulerth  12588  prmdivdiv  12592  hashgcdlem  12593  hashgcdeq  12595  phisum  12596  odzdvds  12601  powm2modprm  12608  pythagtriplem2  12622  pythagtriplem4  12624  pythagtriplem6  12626  pythagtriplem7  12627  pythagtriplem11  12630  pythagtriplem13  12632  pythagtriplem16  12635  pythagtriplem19  12638  pythagtrip  12639  pclemub  12643  pcprendvds2  12647  pcpre1  12648  pcpremul  12649  pceulem  12650  pcqmul  12659  pcdvdsb  12676  pcidlem  12679  pcdvdstr  12683  pcgcd1  12684  pc2dvds  12686  pcprmpw2  12689  pcaddlem  12695  pcadd  12696  pcmpt  12699  pcmpt2  12700  pcmptdvds  12701  pcprod  12702  pcfac  12706  pcbc  12707  qexpz  12708  oddprmdvds  12710  prmpwdvds  12711  pockthlem  12712  pockthg  12713  infpnlem2  12716  1arithlem4  12722  1arith  12723  4sqlem5  12738  4sqlem6  12739  4sqlem8  12741  4sqlem9  12742  4sqlem10  12743  4sqlemafi  12751  4sqlemffi  12752  4sqleminfi  12753  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  4sqlem14  12760  4sqlem16  12762  4sqlem17  12763  oddennn  12796  exmidunben  12830  nninfdclemcl  12852  nninfdclemp1  12854  nninfdclemlt  12855  unbendc  12858  strleund  12968  gsumwsubmcl  13361  gsumwmhm  13363  mulgneg  13509  mulgnndir  13520  znrrg  14455  logbgcd1irraplemexp  15473  logbgcd1irraplemap  15474  sgmnncl  15493  dvdsppwf1o  15494  mpodvdsmulf1o  15495  mersenne  15502  perfect1  15503  perfectlem1  15504  perfectlem2  15505  perfect  15506  lgsfvalg  15515  lgsfcl2  15516  lgsmod  15536  lgsdir  15545  lgsdilem2  15546  lgsne0  15548  gausslemma2dlem0c  15561  gausslemma2dlem0d  15562  gausslemma2dlem0h  15566  gausslemma2dlem0i  15567  gausslemma2dlem1  15571  gausslemma2dlem2  15572  gausslemma2dlem3  15573  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem5a  15575  gausslemma2dlem5  15576  gausslemma2dlem6  15577  gausslemma2dlem7  15578  gausslemma2d  15579  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgseisenlem4  15583  lgseisen  15584  lgsquadlemsfi  15585  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquadlem3  15589  lgsquad2lem1  15591  lgsquad2lem2  15592  lgsquad2  15593  lgsquad3  15594  m1lgs  15595  2lgslem1  15601  2lgslem2  15602  2sqlem3  15627  2sqlem4  15628  2sqlem8  15633  2sqlem9  15634  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemclim  16012  trilpolemisumle  16014  trilpolemeq1  16016  trilpolemlt1  16017  nconstwlpolemgt0  16040