Theorem nnzd 9568

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9422	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9567	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   NNcn 9110   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  qapne  9834  qtri3or  10460  exbtwnzlemstep  10467  modifeq2int  10608  modsumfzodifsn  10618  addmodlteq  10620  expnnval  10764  expnegap0  10769  expaddzaplem  10804  expmulzap  10807  facndiv  10961  bcval  10971  bcval5  10985  bcpasc  10988  caucvgre  11492  cvg1nlemcau  11495  cvg1nlemres  11496  resqrexlemdecn  11523  resqrexlemnmsq  11528  resqrexlemnm  11529  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemoverl  11532  sumeq2  11870  nnf1o  11887  summodclem3  11891  summodclem2a  11892  summodclem2  11893  summodc  11894  zsumdc  11895  fsum3  11898  fisumss  11903  fsum3cvg3  11907  fsumcl2lem  11909  fsumadd  11917  sumsnf  11920  fsummulc2  11959  bcxmas  12000  geo2lim  12027  cvgratnnlembern  12034  cvgratnnlemseq  12037  cvgratnnlemabsle  12038  cvgratnnlemsumlt  12039  cvgratnnlemfm  12040  cvgratnnlemrate  12041  cvgratz  12043  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  mertenslem2  12047  prodeq2  12068  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  prodmodclem2  12088  fprodseq  12094  fprodssdc  12101  fprodmul  12102  prodsnf  12103  eftcl  12165  eftlub  12201  eirraplem  12288  dvdsle  12355  fzm1ndvds  12367  dvdsfac  12371  dvdsmod  12373  divalglemeunn  12432  bitsfzolem  12465  bitsmod  12467  bitsfi  12468  bitscmp  12469  bitsinv1  12473  gcddvds  12484  gcdnncl  12488  gcd1  12508  dvdsgcdidd  12515  bezoutlemnewy  12517  bezoutlemstep  12518  mulgcd  12537  gcdmultiplez  12542  rplpwr  12548  rppwr  12549  sqgcd  12550  dvdssq  12552  uzwodc  12558  lcmneg  12596  lcmgcdlem  12599  ncoprmgcdne1b  12611  rpdvds  12621  congr  12622  cncongr1  12625  cncongr2  12626  prmz  12633  prmind2  12642  divgcdodd  12665  isprm6  12669  prmexpb  12673  prmfac1  12674  rpexp  12675  sqrt2irrlem  12683  pw2dvdslemn  12687  pw2dvdseulemle  12689  oddpwdclemxy  12691  oddpwdclemodd  12694  sqpweven  12697  2sqpwodd  12698  sqrt2irraplemnn  12701  numdensq  12724  phivalfi  12734  hashdvds  12743  phiprmpw  12744  crth  12746  phimullem  12747  eulerthlem1  12749  eulerthlemfi  12750  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  eulerthlemh  12753  eulerthlemth  12754  eulerth  12755  prmdivdiv  12759  hashgcdlem  12760  hashgcdeq  12762  phisum  12763  odzdvds  12768  powm2modprm  12775  pythagtriplem2  12789  pythagtriplem4  12791  pythagtriplem6  12793  pythagtriplem7  12794  pythagtriplem11  12797  pythagtriplem13  12799  pythagtriplem16  12802  pythagtriplem19  12805  pythagtrip  12806  pclemub  12810  pcprendvds2  12814  pcpre1  12815  pcpremul  12816  pceulem  12817  pcqmul  12826  pcdvdsb  12843  pcidlem  12846  pcdvdstr  12850  pcgcd1  12851  pc2dvds  12853  pcprmpw2  12856  pcaddlem  12862  pcadd  12863  pcmpt  12866  pcmpt2  12867  pcmptdvds  12868  pcprod  12869  pcfac  12873  pcbc  12874  qexpz  12875  oddprmdvds  12877  prmpwdvds  12878  pockthlem  12879  pockthg  12880  infpnlem2  12883  1arithlem4  12889  1arith  12890  4sqlem5  12905  4sqlem6  12906  4sqlem8  12908  4sqlem9  12909  4sqlem10  12910  4sqlemafi  12918  4sqlemffi  12919  4sqleminfi  12920  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  4sqlem14  12927  4sqlem16  12929  4sqlem17  12930  oddennn  12963  exmidunben  12997  nninfdclemcl  13019  nninfdclemp1  13021  nninfdclemlt  13022  unbendc  13025  bassetsnn  13089  strleund  13136  gsumwsubmcl  13529  gsumwmhm  13531  mulgneg  13677  mulgnndir  13688  znrrg  14624  logbgcd1irraplemexp  15642  logbgcd1irraplemap  15643  sgmnncl  15662  dvdsppwf1o  15663  mpodvdsmulf1o  15664  mersenne  15671  perfect1  15672  perfectlem1  15673  perfectlem2  15674  perfect  15675  lgsfvalg  15684  lgsfcl2  15685  lgsmod  15705  lgsdir  15714  lgsdilem2  15715  lgsne0  15717  gausslemma2dlem0c  15730  gausslemma2dlem0d  15731  gausslemma2dlem0h  15735  gausslemma2dlem0i  15736  gausslemma2dlem1  15740  gausslemma2dlem2  15741  gausslemma2dlem3  15742  gausslemma2dlem4  15743  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  gausslemma2dlem7  15747  gausslemma2d  15748  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlemsfi  15754  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758  lgsquad2lem1  15760  lgsquad2lem2  15761  lgsquad2  15762  lgsquad3  15763  m1lgs  15764  2lgslem1  15770  2lgslem2  15771  2sqlem3  15796  2sqlem4  15797  2sqlem8  15802  2sqlem9  15803  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemclim  16404  trilpolemisumle  16406  trilpolemeq1  16408  trilpolemlt1  16409  nconstwlpolemgt0  16432