ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnzd Unicode version

Theorem nnzd 9140
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 8998 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 9139 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   NNcn 8688   ZZcz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  qapne  9399  qtri3or  9988  exbtwnzlemstep  9993  modifeq2int  10127  modsumfzodifsn  10137  addmodlteq  10139  expnnval  10264  expnegap0  10269  expaddzaplem  10304  expmulzap  10307  facndiv  10453  bcval  10463  bcval5  10477  bcpasc  10480  caucvgre  10721  cvg1nlemcau  10724  cvg1nlemres  10725  resqrexlemdecn  10752  resqrexlemnmsq  10757  resqrexlemnm  10758  resqrexlemcvg  10759  resqrexlemoverl  10761  sumeq2  11096  isummolemnm  11116  summodclem3  11117  summodclem2a  11118  summodclem2  11119  summodc  11120  zsumdc  11121  fsum3  11124  fisumss  11129  fsum3cvg3  11133  fsumcl2lem  11135  fsumadd  11143  sumsnf  11146  fsummulc2  11185  bcxmas  11226  geo2lim  11253  cvgratnnlembern  11260  cvgratnnlemseq  11263  cvgratnnlemabsle  11264  cvgratnnlemsumlt  11265  cvgratnnlemfm  11266  cvgratnnlemrate  11267  cvgratz  11269  mertenslemub  11271  mertenslemi1  11272  mertenslem2  11273  eftcl  11287  eftlub  11323  eirraplem  11410  dvdsle  11469  fzm1ndvds  11481  dvdsfac  11485  dvdsmod  11487  divalglemeunn  11545  gcddvds  11579  gcdnncl  11583  gcd1  11602  dvdsgcdidd  11609  bezoutlemnewy  11611  bezoutlemstep  11612  mulgcd  11631  gcdmultiplez  11636  rplpwr  11642  rppwr  11643  sqgcd  11644  dvdssq  11646  lcmneg  11682  lcmgcdlem  11685  ncoprmgcdne1b  11697  rpdvds  11707  congr  11708  cncongr1  11711  cncongr2  11712  prmz  11719  prmind2  11728  divgcdodd  11748  isprm6  11752  prmexpb  11756  prmfac1  11757  rpexp  11758  sqrt2irrlem  11766  pw2dvdslemn  11770  pw2dvdseulemle  11772  oddpwdclemxy  11774  oddpwdclemodd  11777  sqpweven  11780  2sqpwodd  11781  sqrt2irraplemnn  11784  numdensq  11807  phivalfi  11815  hashdvds  11824  phiprmpw  11825  crth  11827  phimullem  11828  hashgcdlem  11830  hashgcdeq  11831  oddennn  11832  exmidunben  11866  strleund  11974  cvgcmp2nlemabs  13154  trilpolemclim  13156  trilpolemisumle  13158  trilpolemeq1  13160  trilpolemlt1  13161
  Copyright terms: Public domain W3C validator