Theorem nnzd 9720

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9573	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9719	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   NNcn 9257   ZZcz 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598

This theorem is referenced by:  qapne  9992  ltesubnnd  10123  qtri3or  10627  exbtwnzlemstep  10634  modifeq2int  10775  modsumfzodifsn  10785  addmodlteq  10787  expnnval  10931  expnegap0  10936  expaddzaplem  10971  expmulzap  10974  facndiv  11129  bcval  11139  bcval5  11153  bcpasc  11156  caucvgre  11694  cvg1nlemcau  11697  cvg1nlemres  11698  resqrexlemdecn  11725  resqrexlemnmsq  11730  resqrexlemnm  11731  resqrexlemcvg  11732  resqrexlemoverl  11734  sumeq2  12072  nnf1o  12090  summodclem3  12094  summodclem2a  12095  summodclem2  12096  summodc  12097  zsumdc  12098  fsum3  12101  fisumss  12106  fsum3cvg3  12110  fsumcl2lem  12112  fsumadd  12120  sumsnf  12123  fsummulc2  12162  bcxmas  12203  geo2lim  12230  cvgratnnlembern  12237  cvgratnnlemseq  12240  cvgratnnlemabsle  12241  cvgratnnlemsumlt  12242  cvgratnnlemfm  12243  cvgratnnlemrate  12244  cvgratz  12246  mertenslemub  12248  mertenslemi1  12249  mertenslem2  12250  prodeq2  12271  prodmodclem3  12289  prodmodclem2a  12290  prodmodclem2  12291  fprodseq  12297  fprodssdc  12304  fprodmul  12305  prodsnf  12306  eftcl  12368  eftlub  12404  eirraplem  12491  dvdsle  12558  fzm1ndvds  12570  dvdsfac  12574  dvdsmod  12576  divalglemeunn  12635  bitsfzolem  12668  bitsmod  12670  bitsfi  12671  bitscmp  12672  bitsinv1  12676  gcddvds  12687  gcdnncl  12691  gcd1  12711  dvdsgcdidd  12718  bezoutlemnewy  12720  bezoutlemstep  12721  mulgcd  12740  gcdmultiplez  12745  rplpwr  12751  rppwr  12752  sqgcd  12753  dvdssq  12755  uzwodc  12761  lcmneg  12799  lcmgcdlem  12802  ncoprmgcdne1b  12814  rpdvds  12824  congr  12825  cncongr1  12828  cncongr2  12829  prmz  12836  prmind2  12845  divgcdodd  12868  isprm6  12872  prmexpb  12876  prmfac1  12877  rpexp  12878  sqrt2irrlem  12886  pw2dvdslemn  12890  pw2dvdseulemle  12892  oddpwdclemxy  12894  oddpwdclemodd  12897  sqpweven  12900  2sqpwodd  12901  sqrt2irraplemnn  12904  numdensq  12927  phivalfi  12937  hashdvds  12946  phiprmpw  12947  crth  12949  phimullem  12950  eulerthlem1  12952  eulerthlemfi  12953  eulerthlemrprm  12954  eulerthlema  12955  eulerthlemh  12956  eulerthlemth  12957  eulerth  12958  prmdivdiv  12962  hashgcdlem  12963  hashgcdeq  12965  phisum  12966  odzdvds  12971  powm2modprm  12978  pythagtriplem2  12992  pythagtriplem4  12994  pythagtriplem6  12996  pythagtriplem7  12997  pythagtriplem11  13000  pythagtriplem13  13002  pythagtriplem16  13005  pythagtriplem19  13008  pythagtrip  13009  pclemub  13013  pcprendvds2  13017  pcpre1  13018  pcpremul  13019  pceulem  13020  pcqmul  13029  pcdvdsb  13046  pcidlem  13049  pcdvdstr  13053  pcgcd1  13054  pc2dvds  13056  pcprmpw2  13059  pcaddlem  13065  pcadd  13066  pcmpt  13069  pcmpt2  13070  pcmptdvds  13071  pcprod  13072  pcfac  13076  pcbc  13077  qexpz  13078  oddprmdvds  13080  prmpwdvds  13081  pockthlem  13082  pockthg  13083  infpnlem2  13086  1arithlem4  13092  1arith  13093  4sqlem5  13108  4sqlem6  13109  4sqlem8  13111  4sqlem9  13112  4sqlem10  13113  4sqlemafi  13121  4sqlemffi  13122  4sqleminfi  13123  4sqlem11  13127  4sqlem12  13128  4sqlem14  13130  4sqlem16  13132  4sqlem17  13133  ballotfilemfp1  13178  ballotfilemfc0  13179  ballotfilemfcc  13180  ballotfilemimin  13196  ballotfilemic  13197  ballotfilem1c  13198  oddennn  13230  exmidunben  13264  nninfdclemcl  13286  nninfdclemp1  13288  nninfdclemlt  13289  unbendc  13292  bassetsnn  13356  strleund  13403  gsumwsubmcl  13754  gsumwmhm  13756  mulgneg  13896  mulgnndir  13907  znrrg  14937  logbgcd1irraplemexp  15962  logbgcd1irraplemap  15963  sgmnncl  15985  dvdsppwf1o  15986  mpodvdsmulf1o  15987  mersenne  15994  perfect1  15995  perfectlem1  15996  perfectlem2  15997  perfect  15998  lgsfvalg  16007  lgsfcl2  16008  lgsmod  16028  lgsdir  16037  lgsdilem2  16038  lgsne0  16040  gausslemma2dlem0c  16053  gausslemma2dlem0d  16054  gausslemma2dlem0h  16058  gausslemma2dlem0i  16059  gausslemma2dlem1  16063  gausslemma2dlem2  16064  gausslemma2dlem3  16065  gausslemma2dlem4  16066  gausslemma2dlem5a  16067  gausslemma2dlem5  16068  gausslemma2dlem6  16069  gausslemma2dlem7  16070  gausslemma2d  16071  lgseisenlem1  16072  lgseisenlem2  16073  lgseisenlem3  16074  lgseisenlem4  16075  lgseisen  16076  lgsquadlemsfi  16077  lgsquadlem1  16079  lgsquadlem2  16080  lgsquadlem3  16081  lgsquad2lem1  16083  lgsquad2lem2  16084  lgsquad2  16085  lgsquad3  16086  m1lgs  16087  2lgslem1  16093  2lgslem2  16094  2sqlem3  16119  2sqlem4  16120  2sqlem8  16125  2sqlem9  16126  cvgcmp2nlemabs  16955  trilpolemclim  16959  trilpolemisumle  16961  trilpolemeq1  16963  trilpolemlt1  16964  nconstwlpolemgt0  16989