ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnzd Unicode version

Theorem nnzd 9165
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 9023 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 9164 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1480   NNcn 8713   ZZcz 9047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048
This theorem is referenced by:  qapne  9424  qtri3or  10013  exbtwnzlemstep  10018  modifeq2int  10152  modsumfzodifsn  10162  addmodlteq  10164  expnnval  10289  expnegap0  10294  expaddzaplem  10329  expmulzap  10332  facndiv  10478  bcval  10488  bcval5  10502  bcpasc  10505  caucvgre  10746  cvg1nlemcau  10749  cvg1nlemres  10750  resqrexlemdecn  10777  resqrexlemnmsq  10782  resqrexlemnm  10783  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemoverl  10786  sumeq2  11121  isummolemnm  11141  summodclem3  11142  summodclem2a  11143  summodclem2  11144  summodc  11145  zsumdc  11146  fsum3  11149  fisumss  11154  fsum3cvg3  11158  fsumcl2lem  11160  fsumadd  11168  sumsnf  11171  fsummulc2  11210  bcxmas  11251  geo2lim  11278  cvgratnnlembern  11285  cvgratnnlemseq  11288  cvgratnnlemabsle  11289  cvgratnnlemsumlt  11290  cvgratnnlemfm  11291  cvgratnnlemrate  11292  cvgratz  11294  mertenslemub  11296  mertenslemi1  11297  mertenslem2  11298  prodeq2  11319  eftcl  11349  eftlub  11385  eirraplem  11472  dvdsle  11531  fzm1ndvds  11543  dvdsfac  11547  dvdsmod  11549  divalglemeunn  11607  gcddvds  11641  gcdnncl  11645  gcd1  11664  dvdsgcdidd  11671  bezoutlemnewy  11673  bezoutlemstep  11674  mulgcd  11693  gcdmultiplez  11698  rplpwr  11704  rppwr  11705  sqgcd  11706  dvdssq  11708  lcmneg  11744  lcmgcdlem  11747  ncoprmgcdne1b  11759  rpdvds  11769  congr  11770  cncongr1  11773  cncongr2  11774  prmz  11781  prmind2  11790  divgcdodd  11810  isprm6  11814  prmexpb  11818  prmfac1  11819  rpexp  11820  sqrt2irrlem  11828  pw2dvdslemn  11832  pw2dvdseulemle  11834  oddpwdclemxy  11836  oddpwdclemodd  11839  sqpweven  11842  2sqpwodd  11843  sqrt2irraplemnn  11846  numdensq  11869  phivalfi  11877  hashdvds  11886  phiprmpw  11887  crth  11889  phimullem  11890  hashgcdlem  11892  hashgcdeq  11893  oddennn  11894  exmidunben  11928  strleund  12036  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemclim  13218  trilpolemisumle  13220  trilpolemeq1  13222  trilpolemlt1  13223
  Copyright terms: Public domain W3C validator