Theorem nnzd 9746

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9599	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9745	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9283   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  qapne  10018  ltesubnnd  10149  qtri3or  10653  exbtwnzlemstep  10660  modifeq2int  10801  modsumfzodifsn  10811  addmodlteq  10813  expnnval  10957  expnegap0  10962  expaddzaplem  10997  expmulzap  11000  facndiv  11155  bcval  11165  bcval5  11179  bcpasc  11182  hashf1  11265  caucvgre  11725  cvg1nlemcau  11728  cvg1nlemres  11729  resqrexlemdecn  11756  resqrexlemnmsq  11761  resqrexlemnm  11762  resqrexlemcvg  11763  resqrexlemoverl  11765  sumeq2  12103  nnf1o  12121  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  summodclem2  12127  summodc  12128  zsumdc  12129  fsum3  12132  fisumss  12137  fsum3cvg3  12141  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  sumsnf  12154  fsummulc2  12193  bcxmas  12234  geo2lim  12261  cvgratnnlembern  12268  cvgratnnlemseq  12271  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratnnlemfm  12274  cvgratnnlemrate  12275  cvgratz  12277  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  prodeq2  12302  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  prodmodclem2  12322  fprodseq  12328  fprodssdc  12335  fprodmul  12336  prodsnf  12337  eftcl  12399  eftlub  12435  eirraplem  12522  dvdsle  12589  fzm1ndvds  12601  dvdsfac  12605  dvdsmod  12607  divalglemeunn  12666  bitsfzolem  12699  bitsmod  12701  bitsfi  12702  bitscmp  12703  bitsinv1  12707  gcddvds  12718  gcdnncl  12722  gcd1  12742  dvdsgcdidd  12749  bezoutlemnewy  12751  bezoutlemstep  12752  mulgcd  12771  gcdmultiplez  12776  rplpwr  12782  rppwr  12783  sqgcd  12784  dvdssq  12786  uzwodc  12792  lcmneg  12830  lcmgcdlem  12833  ncoprmgcdne1b  12845  rpdvds  12855  congr  12856  cncongr1  12859  cncongr2  12860  prmz  12867  prmind2  12876  divgcdodd  12899  isprm6  12903  prmexpb  12907  prmfac1  12908  rpexp  12909  sqrt2irrlem  12917  pw2dvdslemn  12921  pw2dvdseulemle  12923  oddpwdclemxy  12925  oddpwdclemodd  12928  sqpweven  12931  2sqpwodd  12932  sqrt2irraplemnn  12935  numdensq  12958  phivalfi  12968  hashdvds  12977  phiprmpw  12978  crth  12980  phimullem  12981  eulerthlem1  12983  eulerthlemfi  12984  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  eulerthlemh  12987  eulerthlemth  12988  eulerth  12989  prmdivdiv  12993  hashgcdlem  12994  hashgcdeq  12996  phisum  12997  odzdvds  13002  powm2modprm  13009  pythagtriplem2  13023  pythagtriplem4  13025  pythagtriplem6  13027  pythagtriplem7  13028  pythagtriplem11  13031  pythagtriplem13  13033  pythagtriplem16  13036  pythagtriplem19  13039  pythagtrip  13040  pclemub  13044  pcprendvds2  13048  pcpre1  13049  pcpremul  13050  pceulem  13051  pcqmul  13060  pcdvdsb  13077  pcidlem  13080  pcdvdstr  13084  pcgcd1  13085  pc2dvds  13087  pcprmpw2  13090  pcaddlem  13096  pcadd  13097  pcmpt  13100  pcmpt2  13101  pcmptdvds  13102  pcprod  13103  pcfac  13107  pcbc  13108  qexpz  13109  oddprmdvds  13111  prmpwdvds  13112  pockthlem  13113  pockthg  13114  infpnlem2  13117  1arithlem4  13123  1arith  13124  4sqlem5  13139  4sqlem6  13140  4sqlem8  13142  4sqlem9  13143  4sqlem10  13144  4sqlemafi  13152  4sqlemffi  13153  4sqleminfi  13154  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  4sqlem14  13161  4sqlem16  13163  4sqlem17  13164  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemimin  13227  ballotfilemic  13228  ballotfilem1c  13229  oddennn  13261  exmidunben  13295  nninfdclemcl  13317  nninfdclemp1  13319  nninfdclemlt  13320  unbendc  13323  bassetsnn  13387  strleund  13434  gzsumwsubmcl  13778  gzsumwmhm  13780  mulgneg  13920  mulgnndir  13931  znrrg  14967  logbgcd1irraplemexp  15993  logbgcd1irraplemap  15994  sgmnncl  16016  dvdsppwf1o  16017  mpodvdsmulf1o  16018  mersenne  16025  perfect1  16026  perfectlem1  16027  perfectlem2  16028  perfect  16029  lgsfvalg  16038  lgsfcl2  16039  lgsmod  16059  lgsdir  16068  lgsdilem2  16069  lgsne0  16071  gausslemma2dlem0c  16084  gausslemma2dlem0d  16085  gausslemma2dlem0h  16089  gausslemma2dlem0i  16090  gausslemma2dlem1  16094  gausslemma2dlem2  16095  gausslemma2dlem3  16096  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  gausslemma2dlem7  16101  gausslemma2d  16102  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgseisen  16107  lgsquadlemsfi  16108  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  lgsquad2lem1  16114  lgsquad2lem2  16115  lgsquad2  16116  lgsquad3  16117  m1lgs  16118  2lgslem1  16124  2lgslem2  16125  2sqlem3  16150  2sqlem4  16151  2sqlem8  16156  2sqlem9  16157  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemclim  16990  trilpolemisumle  16992  trilpolemeq1  16994  trilpolemlt1  16995  nconstwlpolemgt0  17019