Theorem nnzd 9494

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9348	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9493	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   NNcn 9036   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  qapne  9760  qtri3or  10383  exbtwnzlemstep  10390  modifeq2int  10531  modsumfzodifsn  10541  addmodlteq  10543  expnnval  10687  expnegap0  10692  expaddzaplem  10727  expmulzap  10730  facndiv  10884  bcval  10894  bcval5  10908  bcpasc  10911  caucvgre  11292  cvg1nlemcau  11295  cvg1nlemres  11296  resqrexlemdecn  11323  resqrexlemnmsq  11328  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemoverl  11332  sumeq2  11670  nnf1o  11687  summodclem3  11691  summodclem2a  11692  summodclem2  11693  summodc  11694  zsumdc  11695  fsum3  11698  fisumss  11703  fsum3cvg3  11707  fsumcl2lem  11709  fsumadd  11717  sumsnf  11720  fsummulc2  11759  bcxmas  11800  geo2lim  11827  cvgratnnlembern  11834  cvgratnnlemseq  11837  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemsumlt  11839  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  cvgratz  11843  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  prodeq2  11868  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  prodmodclem2  11888  fprodseq  11894  fprodssdc  11901  fprodmul  11902  prodsnf  11903  eftcl  11965  eftlub  12001  eirraplem  12088  dvdsle  12155  fzm1ndvds  12167  dvdsfac  12171  dvdsmod  12173  divalglemeunn  12232  bitsfzolem  12265  bitsmod  12267  bitsfi  12268  bitscmp  12269  bitsinv1  12273  gcddvds  12284  gcdnncl  12288  gcd1  12308  dvdsgcdidd  12315  bezoutlemnewy  12317  bezoutlemstep  12318  mulgcd  12337  gcdmultiplez  12342  rplpwr  12348  rppwr  12349  sqgcd  12350  dvdssq  12352  uzwodc  12358  lcmneg  12396  lcmgcdlem  12399  ncoprmgcdne1b  12411  rpdvds  12421  congr  12422  cncongr1  12425  cncongr2  12426  prmz  12433  prmind2  12442  divgcdodd  12465  isprm6  12469  prmexpb  12473  prmfac1  12474  rpexp  12475  sqrt2irrlem  12483  pw2dvdslemn  12487  pw2dvdseulemle  12489  oddpwdclemxy  12491  oddpwdclemodd  12494  sqpweven  12497  2sqpwodd  12498  sqrt2irraplemnn  12501  numdensq  12524  phivalfi  12534  hashdvds  12543  phiprmpw  12544  crth  12546  phimullem  12547  eulerthlem1  12549  eulerthlemfi  12550  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  eulerthlemh  12553  eulerthlemth  12554  eulerth  12555  prmdivdiv  12559  hashgcdlem  12560  hashgcdeq  12562  phisum  12563  odzdvds  12568  powm2modprm  12575  pythagtriplem2  12589  pythagtriplem4  12591  pythagtriplem6  12593  pythagtriplem7  12594  pythagtriplem11  12597  pythagtriplem13  12599  pythagtriplem16  12602  pythagtriplem19  12605  pythagtrip  12606  pclemub  12610  pcprendvds2  12614  pcpre1  12615  pcpremul  12616  pceulem  12617  pcqmul  12626  pcdvdsb  12643  pcidlem  12646  pcdvdstr  12650  pcgcd1  12651  pc2dvds  12653  pcprmpw2  12656  pcaddlem  12662  pcadd  12663  pcmpt  12666  pcmpt2  12667  pcmptdvds  12668  pcprod  12669  pcfac  12673  pcbc  12674  qexpz  12675  oddprmdvds  12677  prmpwdvds  12678  pockthlem  12679  pockthg  12680  infpnlem2  12683  1arithlem4  12689  1arith  12690  4sqlem5  12705  4sqlem6  12706  4sqlem8  12708  4sqlem9  12709  4sqlem10  12710  4sqlemafi  12718  4sqlemffi  12719  4sqleminfi  12720  4sqlem11  12724  4sqlem12  12725  4sqlem14  12727  4sqlem16  12729  4sqlem17  12730  oddennn  12763  exmidunben  12797  nninfdclemcl  12819  nninfdclemp1  12821  nninfdclemlt  12822  unbendc  12825  strleund  12935  gsumwsubmcl  13328  gsumwmhm  13330  mulgneg  13476  mulgnndir  13487  znrrg  14422  logbgcd1irraplemexp  15440  logbgcd1irraplemap  15441  sgmnncl  15460  dvdsppwf1o  15461  mpodvdsmulf1o  15462  mersenne  15469  perfect1  15470  perfectlem1  15471  perfectlem2  15472  perfect  15473  lgsfvalg  15482  lgsfcl2  15483  lgsmod  15503  lgsdir  15512  lgsdilem2  15513  lgsne0  15515  gausslemma2dlem0c  15528  gausslemma2dlem0d  15529  gausslemma2dlem0h  15533  gausslemma2dlem0i  15534  gausslemma2dlem1  15538  gausslemma2dlem2  15539  gausslemma2dlem3  15540  gausslemma2dlem4  15541  gausslemma2dlem5a  15542  gausslemma2dlem5  15543  gausslemma2dlem6  15544  gausslemma2dlem7  15545  gausslemma2d  15546  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550  lgseisen  15551  lgsquadlemsfi  15552  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquadlem3  15556  lgsquad2lem1  15558  lgsquad2lem2  15559  lgsquad2  15560  lgsquad3  15561  m1lgs  15562  2lgslem1  15568  2lgslem2  15569  2sqlem3  15594  2sqlem4  15595  2sqlem8  15600  2sqlem9  15601  cvgcmp2nlemabs  15971  trilpolemclim  15975  trilpolemisumle  15977  trilpolemeq1  15979  trilpolemlt1  15980  nconstwlpolemgt0  16003