Theorem nnzd 9662

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9516	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9661	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  qapne  9934  qtri3or  10563  exbtwnzlemstep  10570  modifeq2int  10711  modsumfzodifsn  10721  addmodlteq  10723  expnnval  10867  expnegap0  10872  expaddzaplem  10907  expmulzap  10910  facndiv  11064  bcval  11074  bcval5  11088  bcpasc  11091  caucvgre  11621  cvg1nlemcau  11624  cvg1nlemres  11625  resqrexlemdecn  11652  resqrexlemnmsq  11657  resqrexlemnm  11658  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemoverl  11661  sumeq2  11999  nnf1o  12017  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  summodclem2  12023  summodc  12024  zsumdc  12025  fsum3  12028  fisumss  12033  fsum3cvg3  12037  fsumcl2lem  12039  fsumadd  12047  sumsnf  12050  fsummulc2  12089  bcxmas  12130  geo2lim  12157  cvgratnnlembern  12164  cvgratnnlemseq  12167  cvgratnnlemabsle  12168  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratnnlemfm  12170  cvgratnnlemrate  12171  cvgratz  12173  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  mertenslem2  12177  prodeq2  12198  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  prodmodclem2  12218  fprodseq  12224  fprodssdc  12231  fprodmul  12232  prodsnf  12233  eftcl  12295  eftlub  12331  eirraplem  12418  dvdsle  12485  fzm1ndvds  12497  dvdsfac  12501  dvdsmod  12503  divalglemeunn  12562  bitsfzolem  12595  bitsmod  12597  bitsfi  12598  bitscmp  12599  bitsinv1  12603  gcddvds  12614  gcdnncl  12618  gcd1  12638  dvdsgcdidd  12645  bezoutlemnewy  12647  bezoutlemstep  12648  mulgcd  12667  gcdmultiplez  12672  rplpwr  12678  rppwr  12679  sqgcd  12680  dvdssq  12682  uzwodc  12688  lcmneg  12726  lcmgcdlem  12729  ncoprmgcdne1b  12741  rpdvds  12751  congr  12752  cncongr1  12755  cncongr2  12756  prmz  12763  prmind2  12772  divgcdodd  12795  isprm6  12799  prmexpb  12803  prmfac1  12804  rpexp  12805  sqrt2irrlem  12813  pw2dvdslemn  12817  pw2dvdseulemle  12819  oddpwdclemxy  12821  oddpwdclemodd  12824  sqpweven  12827  2sqpwodd  12828  sqrt2irraplemnn  12831  numdensq  12854  phivalfi  12864  hashdvds  12873  phiprmpw  12874  crth  12876  phimullem  12877  eulerthlem1  12879  eulerthlemfi  12880  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  eulerthlemh  12883  eulerthlemth  12884  eulerth  12885  prmdivdiv  12889  hashgcdlem  12890  hashgcdeq  12892  phisum  12893  odzdvds  12898  powm2modprm  12905  pythagtriplem2  12919  pythagtriplem4  12921  pythagtriplem6  12923  pythagtriplem7  12924  pythagtriplem11  12927  pythagtriplem13  12929  pythagtriplem16  12932  pythagtriplem19  12935  pythagtrip  12936  pclemub  12940  pcprendvds2  12944  pcpre1  12945  pcpremul  12946  pceulem  12947  pcqmul  12956  pcdvdsb  12973  pcidlem  12976  pcdvdstr  12980  pcgcd1  12981  pc2dvds  12983  pcprmpw2  12986  pcaddlem  12992  pcadd  12993  pcmpt  12996  pcmpt2  12997  pcmptdvds  12998  pcprod  12999  pcfac  13003  pcbc  13004  qexpz  13005  oddprmdvds  13007  prmpwdvds  13008  pockthlem  13009  pockthg  13010  infpnlem2  13013  1arithlem4  13019  1arith  13020  4sqlem5  13035  4sqlem6  13036  4sqlem8  13038  4sqlem9  13039  4sqlem10  13040  4sqlemafi  13048  4sqlemffi  13049  4sqleminfi  13050  4sqlem11  13054  4sqlem12  13055  4sqlem14  13057  4sqlem16  13059  4sqlem17  13060  oddennn  13093  exmidunben  13127  nninfdclemcl  13149  nninfdclemp1  13151  nninfdclemlt  13152  unbendc  13155  bassetsnn  13219  strleund  13266  gsumwsubmcl  13659  gsumwmhm  13661  mulgneg  13807  mulgnndir  13818  znrrg  14756  logbgcd1irraplemexp  15779  logbgcd1irraplemap  15780  sgmnncl  15802  dvdsppwf1o  15803  mpodvdsmulf1o  15804  mersenne  15811  perfect1  15812  perfectlem1  15813  perfectlem2  15814  perfect  15815  lgsfvalg  15824  lgsfcl2  15825  lgsmod  15845  lgsdir  15854  lgsdilem2  15855  lgsne0  15857  gausslemma2dlem0c  15870  gausslemma2dlem0d  15871  gausslemma2dlem0h  15875  gausslemma2dlem0i  15876  gausslemma2dlem1  15880  gausslemma2dlem2  15881  gausslemma2dlem3  15882  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5a  15884  gausslemma2dlem5  15885  gausslemma2dlem6  15886  gausslemma2dlem7  15887  gausslemma2d  15888  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem3  15891  lgseisenlem4  15892  lgseisen  15893  lgsquadlemsfi  15894  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  lgsquadlem3  15898  lgsquad2lem1  15900  lgsquad2lem2  15901  lgsquad2  15902  lgsquad3  15903  m1lgs  15904  2lgslem1  15910  2lgslem2  15911  2sqlem3  15936  2sqlem4  15937  2sqlem8  15942  2sqlem9  15943  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemclim  16768  trilpolemisumle  16770  trilpolemeq1  16772  trilpolemlt1  16773  nconstwlpolemgt0  16797