Theorem nnzd 9601

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9455	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9600	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   NNcn 9143   ZZcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  qapne  9873  qtri3or  10501  exbtwnzlemstep  10508  modifeq2int  10649  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  expnnval  10805  expnegap0  10810  expaddzaplem  10845  expmulzap  10848  facndiv  11002  bcval  11012  bcval5  11026  bcpasc  11029  caucvgre  11559  cvg1nlemcau  11562  cvg1nlemres  11563  resqrexlemdecn  11590  resqrexlemnmsq  11595  resqrexlemnm  11596  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemoverl  11599  sumeq2  11937  nnf1o  11955  summodclem3  11959  summodclem2a  11960  summodclem2  11961  summodc  11962  zsumdc  11963  fsum3  11966  fisumss  11971  fsum3cvg3  11975  fsumcl2lem  11977  fsumadd  11985  sumsnf  11988  fsummulc2  12027  bcxmas  12068  geo2lim  12095  cvgratnnlembern  12102  cvgratnnlemseq  12105  cvgratnnlemabsle  12106  cvgratnnlemsumlt  12107  cvgratnnlemfm  12108  cvgratnnlemrate  12109  cvgratz  12111  mertenslemub  12113  mertenslemi1  12114  mertenslem2  12115  prodeq2  12136  prodmodclem3  12154  prodmodclem2a  12155  prodmodclem2  12156  fprodseq  12162  fprodssdc  12169  fprodmul  12170  prodsnf  12171  eftcl  12233  eftlub  12269  eirraplem  12356  dvdsle  12423  fzm1ndvds  12435  dvdsfac  12439  dvdsmod  12441  divalglemeunn  12500  bitsfzolem  12533  bitsmod  12535  bitsfi  12536  bitscmp  12537  bitsinv1  12541  gcddvds  12552  gcdnncl  12556  gcd1  12576  dvdsgcdidd  12583  bezoutlemnewy  12585  bezoutlemstep  12586  mulgcd  12605  gcdmultiplez  12610  rplpwr  12616  rppwr  12617  sqgcd  12618  dvdssq  12620  uzwodc  12626  lcmneg  12664  lcmgcdlem  12667  ncoprmgcdne1b  12679  rpdvds  12689  congr  12690  cncongr1  12693  cncongr2  12694  prmz  12701  prmind2  12710  divgcdodd  12733  isprm6  12737  prmexpb  12741  prmfac1  12742  rpexp  12743  sqrt2irrlem  12751  pw2dvdslemn  12755  pw2dvdseulemle  12757  oddpwdclemxy  12759  oddpwdclemodd  12762  sqpweven  12765  2sqpwodd  12766  sqrt2irraplemnn  12769  numdensq  12792  phivalfi  12802  hashdvds  12811  phiprmpw  12812  crth  12814  phimullem  12815  eulerthlem1  12817  eulerthlemfi  12818  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  eulerthlemh  12821  eulerthlemth  12822  eulerth  12823  prmdivdiv  12827  hashgcdlem  12828  hashgcdeq  12830  phisum  12831  odzdvds  12836  powm2modprm  12843  pythagtriplem2  12857  pythagtriplem4  12859  pythagtriplem6  12861  pythagtriplem7  12862  pythagtriplem11  12865  pythagtriplem13  12867  pythagtriplem16  12870  pythagtriplem19  12873  pythagtrip  12874  pclemub  12878  pcprendvds2  12882  pcpre1  12883  pcpremul  12884  pceulem  12885  pcqmul  12894  pcdvdsb  12911  pcidlem  12914  pcdvdstr  12918  pcgcd1  12919  pc2dvds  12921  pcprmpw2  12924  pcaddlem  12930  pcadd  12931  pcmpt  12934  pcmpt2  12935  pcmptdvds  12936  pcprod  12937  pcfac  12941  pcbc  12942  qexpz  12943  oddprmdvds  12945  prmpwdvds  12946  pockthlem  12947  pockthg  12948  infpnlem2  12951  1arithlem4  12957  1arith  12958  4sqlem5  12973  4sqlem6  12974  4sqlem8  12976  4sqlem9  12977  4sqlem10  12978  4sqlemafi  12986  4sqlemffi  12987  4sqleminfi  12988  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  4sqlem14  12995  4sqlem16  12997  4sqlem17  12998  oddennn  13031  exmidunben  13065  nninfdclemcl  13087  nninfdclemp1  13089  nninfdclemlt  13090  unbendc  13093  bassetsnn  13157  strleund  13204  gsumwsubmcl  13597  gsumwmhm  13599  mulgneg  13745  mulgnndir  13756  znrrg  14693  logbgcd1irraplemexp  15711  logbgcd1irraplemap  15712  sgmnncl  15731  dvdsppwf1o  15732  mpodvdsmulf1o  15733  mersenne  15740  perfect1  15741  perfectlem1  15742  perfectlem2  15743  perfect  15744  lgsfvalg  15753  lgsfcl2  15754  lgsmod  15774  lgsdir  15783  lgsdilem2  15784  lgsne0  15786  gausslemma2dlem0c  15799  gausslemma2dlem0d  15800  gausslemma2dlem0h  15804  gausslemma2dlem0i  15805  gausslemma2dlem1  15809  gausslemma2dlem2  15810  gausslemma2dlem3  15811  gausslemma2dlem4  15812  gausslemma2dlem5a  15813  gausslemma2dlem5  15814  gausslemma2dlem6  15815  gausslemma2dlem7  15816  gausslemma2d  15817  lgseisenlem1  15818  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821  lgseisen  15822  lgsquadlemsfi  15823  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  lgsquadlem3  15827  lgsquad2lem1  15829  lgsquad2lem2  15830  lgsquad2  15831  lgsquad3  15832  m1lgs  15833  2lgslem1  15839  2lgslem2  15840  2sqlem3  15865  2sqlem4  15866  2sqlem8  15871  2sqlem9  15872  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemclim  16691  trilpolemisumle  16693  trilpolemeq1  16695  trilpolemlt1  16696  nconstwlpolemgt0  16720