Theorem nnzd 9196

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9054	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9195	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   NNcn 8744   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  qapne  9458  qtri3or  10051  exbtwnzlemstep  10056  modifeq2int  10190  modsumfzodifsn  10200  addmodlteq  10202  expnnval  10327  expnegap0  10332  expaddzaplem  10367  expmulzap  10370  facndiv  10517  bcval  10527  bcval5  10541  bcpasc  10544  caucvgre  10785  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  resqrexlemdecn  10816  resqrexlemnmsq  10821  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemoverl  10825  sumeq2  11160  nnf1o  11177  summodclem3  11181  summodclem2a  11182  summodclem2  11183  summodc  11184  zsumdc  11185  fsum3  11188  fisumss  11193  fsum3cvg3  11197  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  sumsnf  11210  fsummulc2  11249  bcxmas  11290  geo2lim  11317  cvgratnnlembern  11324  cvgratnnlemseq  11327  cvgratnnlemabsle  11328  cvgratnnlemsumlt  11329  cvgratnnlemfm  11330  cvgratnnlemrate  11331  cvgratz  11333  mertenslemub  11335  mertenslemi1  11336  mertenslem2  11337  prodeq2  11358  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  prodmodclem2  11378  fprodseq  11384  eftcl  11397  eftlub  11433  eirraplem  11519  dvdsle  11578  fzm1ndvds  11590  dvdsfac  11594  dvdsmod  11596  divalglemeunn  11654  gcddvds  11688  gcdnncl  11692  gcd1  11711  dvdsgcdidd  11718  bezoutlemnewy  11720  bezoutlemstep  11721  mulgcd  11740  gcdmultiplez  11745  rplpwr  11751  rppwr  11752  sqgcd  11753  dvdssq  11755  lcmneg  11791  lcmgcdlem  11794  ncoprmgcdne1b  11806  rpdvds  11816  congr  11817  cncongr1  11820  cncongr2  11821  prmz  11828  prmind2  11837  divgcdodd  11857  isprm6  11861  prmexpb  11865  prmfac1  11866  rpexp  11867  sqrt2irrlem  11875  pw2dvdslemn  11879  pw2dvdseulemle  11881  oddpwdclemxy  11883  oddpwdclemodd  11886  sqpweven  11889  2sqpwodd  11890  sqrt2irraplemnn  11893  numdensq  11916  phivalfi  11924  hashdvds  11933  phiprmpw  11934  crth  11936  phimullem  11937  hashgcdlem  11939  hashgcdeq  11940  oddennn  11941  exmidunben  11975  strleund  12086  logbgcd1irraplemexp  13093  logbgcd1irraplemap  13094  cvgcmp2nlemabs  13402  trilpolemclim  13404  trilpolemisumle  13406  trilpolemeq1  13408  trilpolemlt1  13409