Theorem nnzd 9308

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9163	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9307	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   NNcn 8853   ZZcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  qapne  9573  qtri3or  10174  exbtwnzlemstep  10179  modifeq2int  10317  modsumfzodifsn  10327  addmodlteq  10329  expnnval  10454  expnegap0  10459  expaddzaplem  10494  expmulzap  10497  facndiv  10648  bcval  10658  bcval5  10672  bcpasc  10675  caucvgre  10919  cvg1nlemcau  10922  cvg1nlemres  10923  resqrexlemdecn  10950  resqrexlemnmsq  10955  resqrexlemnm  10956  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemoverl  10959  sumeq2  11296  nnf1o  11313  summodclem3  11317  summodclem2a  11318  summodclem2  11319  summodc  11320  zsumdc  11321  fsum3  11324  fisumss  11329  fsum3cvg3  11333  fsumcl2lem  11335  fsumadd  11343  sumsnf  11346  fsummulc2  11385  bcxmas  11426  geo2lim  11453  cvgratnnlembern  11460  cvgratnnlemseq  11463  cvgratnnlemabsle  11464  cvgratnnlemsumlt  11465  cvgratnnlemfm  11466  cvgratnnlemrate  11467  cvgratz  11469  mertenslemub  11471  mertenslemi1  11472  mertenslem2  11473  prodeq2  11494  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  prodmodclem2  11514  fprodseq  11520  fprodssdc  11527  fprodmul  11528  prodsnf  11529  eftcl  11591  eftlub  11627  eirraplem  11713  dvdsle  11778  fzm1ndvds  11790  dvdsfac  11794  dvdsmod  11796  divalglemeunn  11854  gcddvds  11892  gcdnncl  11896  gcd1  11916  dvdsgcdidd  11923  bezoutlemnewy  11925  bezoutlemstep  11926  mulgcd  11945  gcdmultiplez  11950  rplpwr  11956  rppwr  11957  sqgcd  11958  dvdssq  11960  uzwodc  11966  lcmneg  12002  lcmgcdlem  12005  ncoprmgcdne1b  12017  rpdvds  12027  congr  12028  cncongr1  12031  cncongr2  12032  prmz  12039  prmind2  12048  divgcdodd  12071  isprm6  12075  prmexpb  12079  prmfac1  12080  rpexp  12081  sqrt2irrlem  12089  pw2dvdslemn  12093  pw2dvdseulemle  12095  oddpwdclemxy  12097  oddpwdclemodd  12100  sqpweven  12103  2sqpwodd  12104  sqrt2irraplemnn  12107  numdensq  12130  phivalfi  12140  hashdvds  12149  phiprmpw  12150  crth  12152  phimullem  12153  eulerthlem1  12155  eulerthlemfi  12156  eulerthlemrprm  12157  eulerthlema  12158  eulerthlemh  12159  eulerthlemth  12160  eulerth  12161  prmdivdiv  12165  hashgcdlem  12166  hashgcdeq  12167  phisum  12168  odzdvds  12173  powm2modprm  12180  pythagtriplem2  12194  pythagtriplem4  12196  pythagtriplem6  12198  pythagtriplem7  12199  pythagtriplem11  12202  pythagtriplem13  12204  pythagtriplem16  12207  pythagtriplem19  12210  pythagtrip  12211  pclemub  12215  pcprendvds2  12219  pcpre1  12220  pcpremul  12221  pceulem  12222  pcqmul  12231  pcdvdsb  12247  pcidlem  12250  pcdvdstr  12254  pcgcd1  12255  pc2dvds  12257  pcprmpw2  12260  pcaddlem  12266  pcadd  12267  pcmpt  12269  pcmpt2  12270  pcmptdvds  12271  pcprod  12272  pcfac  12276  pcbc  12277  qexpz  12278  oddprmdvds  12280  prmpwdvds  12281  pockthlem  12282  pockthg  12283  infpnlem2  12286  1arithlem4  12292  1arith  12293  4sqlem5  12308  4sqlem6  12309  4sqlem8  12311  4sqlem9  12312  4sqlem10  12313  oddennn  12321  exmidunben  12355  nninfdclemcl  12377  nninfdclemp1  12379  nninfdclemlt  12380  unbendc  12383  strleund  12478  logbgcd1irraplemexp  13486  logbgcd1irraplemap  13487  lgsfvalg  13506  lgsfcl2  13507  lgsmod  13527  lgsdir  13536  lgsdilem2  13537  lgsne0  13539  2sqlem3  13553  2sqlem4  13554  2sqlem8  13559  2sqlem9  13560  cvgcmp2nlemabs  13871  trilpolemclim  13875  trilpolemisumle  13877  trilpolemeq1  13879  trilpolemlt1  13880  nconstwlpolemgt0  13902