Theorem nnzd 9579

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9433	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9578	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   NNcn 9121   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  qapne  9846  qtri3or  10472  exbtwnzlemstep  10479  modifeq2int  10620  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  expnnval  10776  expnegap0  10781  expaddzaplem  10816  expmulzap  10819  facndiv  10973  bcval  10983  bcval5  10997  bcpasc  11000  caucvgre  11508  cvg1nlemcau  11511  cvg1nlemres  11512  resqrexlemdecn  11539  resqrexlemnmsq  11544  resqrexlemnm  11545  resqrexlemcvg  11546  resqrexlemoverl  11548  sumeq2  11886  nnf1o  11903  summodclem3  11907  summodclem2a  11908  summodclem2  11909  summodc  11910  zsumdc  11911  fsum3  11914  fisumss  11919  fsum3cvg3  11923  fsumcl2lem  11925  fsumadd  11933  sumsnf  11936  fsummulc2  11975  bcxmas  12016  geo2lim  12043  cvgratnnlembern  12050  cvgratnnlemseq  12053  cvgratnnlemabsle  12054  cvgratnnlemsumlt  12055  cvgratnnlemfm  12056  cvgratnnlemrate  12057  cvgratz  12059  mertenslemub  12061  mertenslemi1  12062  mertenslem2  12063  prodeq2  12084  prodmodclem3  12102  prodmodclem2a  12103  prodmodclem2  12104  fprodseq  12110  fprodssdc  12117  fprodmul  12118  prodsnf  12119  eftcl  12181  eftlub  12217  eirraplem  12304  dvdsle  12371  fzm1ndvds  12383  dvdsfac  12387  dvdsmod  12389  divalglemeunn  12448  bitsfzolem  12481  bitsmod  12483  bitsfi  12484  bitscmp  12485  bitsinv1  12489  gcddvds  12500  gcdnncl  12504  gcd1  12524  dvdsgcdidd  12531  bezoutlemnewy  12533  bezoutlemstep  12534  mulgcd  12553  gcdmultiplez  12558  rplpwr  12564  rppwr  12565  sqgcd  12566  dvdssq  12568  uzwodc  12574  lcmneg  12612  lcmgcdlem  12615  ncoprmgcdne1b  12627  rpdvds  12637  congr  12638  cncongr1  12641  cncongr2  12642  prmz  12649  prmind2  12658  divgcdodd  12681  isprm6  12685  prmexpb  12689  prmfac1  12690  rpexp  12691  sqrt2irrlem  12699  pw2dvdslemn  12703  pw2dvdseulemle  12705  oddpwdclemxy  12707  oddpwdclemodd  12710  sqpweven  12713  2sqpwodd  12714  sqrt2irraplemnn  12717  numdensq  12740  phivalfi  12750  hashdvds  12759  phiprmpw  12760  crth  12762  phimullem  12763  eulerthlem1  12765  eulerthlemfi  12766  eulerthlemrprm  12767  eulerthlema  12768  eulerthlemh  12769  eulerthlemth  12770  eulerth  12771  prmdivdiv  12775  hashgcdlem  12776  hashgcdeq  12778  phisum  12779  odzdvds  12784  powm2modprm  12791  pythagtriplem2  12805  pythagtriplem4  12807  pythagtriplem6  12809  pythagtriplem7  12810  pythagtriplem11  12813  pythagtriplem13  12815  pythagtriplem16  12818  pythagtriplem19  12821  pythagtrip  12822  pclemub  12826  pcprendvds2  12830  pcpre1  12831  pcpremul  12832  pceulem  12833  pcqmul  12842  pcdvdsb  12859  pcidlem  12862  pcdvdstr  12866  pcgcd1  12867  pc2dvds  12869  pcprmpw2  12872  pcaddlem  12878  pcadd  12879  pcmpt  12882  pcmpt2  12883  pcmptdvds  12884  pcprod  12885  pcfac  12889  pcbc  12890  qexpz  12891  oddprmdvds  12893  prmpwdvds  12894  pockthlem  12895  pockthg  12896  infpnlem2  12899  1arithlem4  12905  1arith  12906  4sqlem5  12921  4sqlem6  12922  4sqlem8  12924  4sqlem9  12925  4sqlem10  12926  4sqlemafi  12934  4sqlemffi  12935  4sqleminfi  12936  4sqlem11  12940  4sqlem12  12941  4sqlem14  12943  4sqlem16  12945  4sqlem17  12946  oddennn  12979  exmidunben  13013  nninfdclemcl  13035  nninfdclemp1  13037  nninfdclemlt  13038  unbendc  13041  bassetsnn  13105  strleund  13152  gsumwsubmcl  13545  gsumwmhm  13547  mulgneg  13693  mulgnndir  13704  znrrg  14640  logbgcd1irraplemexp  15658  logbgcd1irraplemap  15659  sgmnncl  15678  dvdsppwf1o  15679  mpodvdsmulf1o  15680  mersenne  15687  perfect1  15688  perfectlem1  15689  perfectlem2  15690  perfect  15691  lgsfvalg  15700  lgsfcl2  15701  lgsmod  15721  lgsdir  15730  lgsdilem2  15731  lgsne0  15733  gausslemma2dlem0c  15746  gausslemma2dlem0d  15747  gausslemma2dlem0h  15751  gausslemma2dlem0i  15752  gausslemma2dlem1  15756  gausslemma2dlem2  15757  gausslemma2dlem3  15758  gausslemma2dlem4  15759  gausslemma2dlem5a  15760  gausslemma2dlem5  15761  gausslemma2dlem6  15762  gausslemma2dlem7  15763  gausslemma2d  15764  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgseisenlem4  15768  lgseisen  15769  lgsquadlemsfi  15770  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquadlem3  15774  lgsquad2lem1  15776  lgsquad2lem2  15777  lgsquad2  15778  lgsquad3  15779  m1lgs  15780  2lgslem1  15786  2lgslem2  15787  2sqlem3  15812  2sqlem4  15813  2sqlem8  15818  2sqlem9  15819  cvgcmp2nlemabs  16488  trilpolemclim  16492  trilpolemisumle  16494  trilpolemeq1  16496  trilpolemlt1  16497  nconstwlpolemgt0  16520