Theorem nnzd 9778

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9631	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9777	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  qapne  10055  ltesubnnd  10187  qtri3or  10692  exbtwnzlemstep  10699  modifeq2int  10844  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  expnnval  11000  expnegap0  11005  expaddzaplem  11040  expmulzap  11043  facndiv  11199  bcval  11209  bcval5  11223  bcpasc  11226  hashf1  11309  caucvgre  11769  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  resqrexlemdecn  11800  resqrexlemnmsq  11805  resqrexlemnm  11806  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemoverl  11809  sumeq2  12150  nnf1o  12168  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  summodclem2  12174  summodc  12175  zsumdc  12176  fsum3  12179  fisumss  12184  fsum3cvg3  12188  fsumcl2lem  12190  fsumadd  12198  sumsnf  12201  fsummulc2  12240  bcxmas  12281  geo2lim  12308  cvgratnnlembern  12315  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratnnlemfm  12321  cvgratnnlemrate  12322  cvgratz  12324  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  prodeq2  12349  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  prodmodclem2  12369  fprodseq  12375  fprodssdc  12382  fprodmul  12383  prodsnf  12384  eftcl  12446  eftlub  12482  eirraplem  12569  dvdsle  12636  fzm1ndvds  12648  dvdsfac  12652  dvdsmod  12654  divalglemeunn  12713  bitsfzolem  12746  bitsmod  12748  bitsfi  12749  bitscmp  12750  bitsinv1  12754  gcddvds  12765  gcdnncl  12769  gcd1  12789  dvdsgcdidd  12796  bezoutlemnewy  12798  bezoutlemstep  12799  mulgcd  12818  gcdmultiplez  12823  rplpwr  12829  rppwr  12830  sqgcd  12831  dvdssq  12833  uzwodc  12839  lcmneg  12877  lcmgcdlem  12880  ncoprmgcdne1b  12892  rpdvds  12902  congr  12903  cncongr1  12906  cncongr2  12907  prmz  12914  prmind2  12923  divgcdodd  12947  isprm6  12951  prmexpb  12955  prmfac1  12956  rpexp  12957  sqrt2irrlem  12965  pwbdvdslemn  12969  pwbdvds  12970  pwbdvdseulemle  12971  nnmaxpwlemxy  12973  nnmaxpwlemnfac  12976  sqpweven  12980  2sqpwodd  12981  sqrt2irraplemnn  12984  numdensq  13007  phivalfi  13019  hashdvds  13028  phiprmpw  13029  crth  13031  phimullem  13032  eulerthlem1  13034  eulerthlemfi  13035  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  eulerthlemh  13038  eulerthlemth  13039  eulerth  13040  prmdivdiv  13044  hashgcdlem  13045  hashgcdeq  13047  phisum  13048  odzdvds  13053  powm2modprm  13060  pythagtriplem2  13074  pythagtriplem4  13076  pythagtriplem6  13078  pythagtriplem7  13079  pythagtriplem11  13082  pythagtriplem13  13084  pythagtriplem16  13087  pythagtriplem19  13090  pythagtrip  13091  pclemub  13095  pcprendvds2  13099  pcpre1  13100  pcpremul  13101  pceulem  13102  pcqmul  13111  pcdvdsb  13128  pcidlem  13131  pcdvdstr  13135  pcgcd1  13136  pc2dvds  13138  pcprmpw2  13141  pcaddlem  13147  pcadd  13148  pcmpt  13151  pcmpt2  13152  pcmptdvds  13153  pcprod  13154  pcfac  13158  pcbc  13159  qexpz  13160  oddprmdvds  13162  prmpwdvds  13163  pockthlem  13164  pockthg  13165  infpnlem2  13168  1arithlem4  13174  1arith  13175  4sqlem5  13190  4sqlem6  13191  4sqlem8  13193  4sqlem9  13194  4sqlem10  13195  4sqlemafi  13203  4sqlemffi  13204  4sqleminfi  13205  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  4sqlem14  13212  4sqlem16  13214  4sqlem17  13215  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemimin  13307  ballotfilemic  13308  ballotfilem1c  13309  oddennn  13341  exmidunben  13375  nninfdclemcl  13397  nninfdclemp1  13399  nninfdclemlt  13400  unbendc  13403  bassetsnn  13467  strleund  13516  gzsumwsubmcl  13860  gzsumwmhm  13862  mulgneg  14002  mulgnndir  14013  znrrg  15104  logbgcd1irraplemexp  16204  logbgcd1irraplemap  16205  zprmlogbaplem2  16216  sgmnncl  16257  efchtqdvds  16265  dvdsppwf1o  16283  mpodvdsmulf1o  16284  chtublem  16295  mersenne  16297  perfect1  16298  perfectlem1  16299  perfectlem2  16300  perfect  16301  bcmono  16304  bcp1ctr  16306  bclbnd  16307  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  bposlem9  16319  lgsfvalg  16329  lgsfcl2  16330  lgsmod  16350  lgsdir  16359  lgsdilem2  16360  lgsne0  16362  gausslemma2dlem0c  16375  gausslemma2dlem0d  16376  gausslemma2dlem0h  16380  gausslemma2dlem0i  16381  gausslemma2dlem1  16385  gausslemma2dlem2  16386  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  gausslemma2dlem7  16392  gausslemma2d  16393  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlemsfi  16399  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  lgsquad2lem1  16405  lgsquad2lem2  16406  lgsquad2  16407  lgsquad3  16408  m1lgs  16409  2lgslem1  16415  2lgslem2  16416  2sqlem3  16441  2sqlem4  16442  2sqlem8  16447  2sqlem9  16448  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemclim  17292  trilpolemisumle  17294  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321