Theorem nnzd 9529

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnzd	|- ( ph -> A e. ZZ )

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2	1	nnnn0d 9383	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
3	2	nn0zd 9528	1 |- ( ph -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   NNcn 9071   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  qapne  9795  qtri3or  10420  exbtwnzlemstep  10427  modifeq2int  10568  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  expnnval  10724  expnegap0  10729  expaddzaplem  10764  expmulzap  10767  facndiv  10921  bcval  10931  bcval5  10945  bcpasc  10948  caucvgre  11407  cvg1nlemcau  11410  cvg1nlemres  11411  resqrexlemdecn  11438  resqrexlemnmsq  11443  resqrexlemnm  11444  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemoverl  11447  sumeq2  11785  nnf1o  11802  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  summodclem2  11808  summodc  11809  zsumdc  11810  fsum3  11813  fisumss  11818  fsum3cvg3  11822  fsumcl2lem  11824  fsumadd  11832  sumsnf  11835  fsummulc2  11874  bcxmas  11915  geo2lim  11942  cvgratnnlembern  11949  cvgratnnlemseq  11952  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemsumlt  11954  cvgratnnlemfm  11955  cvgratnnlemrate  11956  cvgratz  11958  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  prodeq2  11983  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  prodmodclem2  12003  fprodseq  12009  fprodssdc  12016  fprodmul  12017  prodsnf  12018  eftcl  12080  eftlub  12116  eirraplem  12203  dvdsle  12270  fzm1ndvds  12282  dvdsfac  12286  dvdsmod  12288  divalglemeunn  12347  bitsfzolem  12380  bitsmod  12382  bitsfi  12383  bitscmp  12384  bitsinv1  12388  gcddvds  12399  gcdnncl  12403  gcd1  12423  dvdsgcdidd  12430  bezoutlemnewy  12432  bezoutlemstep  12433  mulgcd  12452  gcdmultiplez  12457  rplpwr  12463  rppwr  12464  sqgcd  12465  dvdssq  12467  uzwodc  12473  lcmneg  12511  lcmgcdlem  12514  ncoprmgcdne1b  12526  rpdvds  12536  congr  12537  cncongr1  12540  cncongr2  12541  prmz  12548  prmind2  12557  divgcdodd  12580  isprm6  12584  prmexpb  12588  prmfac1  12589  rpexp  12590  sqrt2irrlem  12598  pw2dvdslemn  12602  pw2dvdseulemle  12604  oddpwdclemxy  12606  oddpwdclemodd  12609  sqpweven  12612  2sqpwodd  12613  sqrt2irraplemnn  12616  numdensq  12639  phivalfi  12649  hashdvds  12658  phiprmpw  12659  crth  12661  phimullem  12662  eulerthlem1  12664  eulerthlemfi  12665  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  eulerthlemh  12668  eulerthlemth  12669  eulerth  12670  prmdivdiv  12674  hashgcdlem  12675  hashgcdeq  12677  phisum  12678  odzdvds  12683  powm2modprm  12690  pythagtriplem2  12704  pythagtriplem4  12706  pythagtriplem6  12708  pythagtriplem7  12709  pythagtriplem11  12712  pythagtriplem13  12714  pythagtriplem16  12717  pythagtriplem19  12720  pythagtrip  12721  pclemub  12725  pcprendvds2  12729  pcpre1  12730  pcpremul  12731  pceulem  12732  pcqmul  12741  pcdvdsb  12758  pcidlem  12761  pcdvdstr  12765  pcgcd1  12766  pc2dvds  12768  pcprmpw2  12771  pcaddlem  12777  pcadd  12778  pcmpt  12781  pcmpt2  12782  pcmptdvds  12783  pcprod  12784  pcfac  12788  pcbc  12789  qexpz  12790  oddprmdvds  12792  prmpwdvds  12793  pockthlem  12794  pockthg  12795  infpnlem2  12798  1arithlem4  12804  1arith  12805  4sqlem5  12820  4sqlem6  12821  4sqlem8  12823  4sqlem9  12824  4sqlem10  12825  4sqlemafi  12833  4sqlemffi  12834  4sqleminfi  12835  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  4sqlem14  12842  4sqlem16  12844  4sqlem17  12845  oddennn  12878  exmidunben  12912  nninfdclemcl  12934  nninfdclemp1  12936  nninfdclemlt  12937  unbendc  12940  strleund  13050  gsumwsubmcl  13443  gsumwmhm  13445  mulgneg  13591  mulgnndir  13602  znrrg  14537  logbgcd1irraplemexp  15555  logbgcd1irraplemap  15556  sgmnncl  15575  dvdsppwf1o  15576  mpodvdsmulf1o  15577  mersenne  15584  perfect1  15585  perfectlem1  15586  perfectlem2  15587  perfect  15588  lgsfvalg  15597  lgsfcl2  15598  lgsmod  15618  lgsdir  15627  lgsdilem2  15628  lgsne0  15630  gausslemma2dlem0c  15643  gausslemma2dlem0d  15644  gausslemma2dlem0h  15648  gausslemma2dlem0i  15649  gausslemma2dlem1  15653  gausslemma2dlem2  15654  gausslemma2dlem3  15655  gausslemma2dlem4  15656  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem5  15658  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2dlem7  15660  gausslemma2d  15661  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlemsfi  15667  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquadlem3  15671  lgsquad2lem1  15673  lgsquad2lem2  15674  lgsquad2  15675  lgsquad3  15676  m1lgs  15677  2lgslem1  15683  2lgslem2  15684  2sqlem3  15709  2sqlem4  15710  2sqlem8  15715  2sqlem9  15716  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemclim  16177  trilpolemisumle  16179  trilpolemeq1  16181  trilpolemlt1  16182  nconstwlpolemgt0  16205