Theorem addsubd 8648

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
addsubd	|- ( ph -> ( ( A + B ) - C ) = ( ( A - C ) + B ) )

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subaddd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		addsub 8527	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) - C ) = ( ( A - C ) + B ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) - C ) = ( ( A - C ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489

This theorem is referenced by:  lesub2  8775  ltsub2  8777  ltesubnnd  10149  fzoshftral  10635  modqadd1  10776  modsumfzodifsn  10811  bcp1n  11177  bcpasc  11182  crre  11600  resqrexlemcalc1  11758  binomlem  12228  cvgratnnlemnexp  12269  cvgratnnlemmn  12270  pythagtriplem14  13034  ballotfilemfp1  13209  plymullem1  15772  tangtx  15862  lgsquad2lem1  16114  2lgslem3b  16127  clwwlkccatlem  16555  clwwlknonex2lem1  16592