Theorem ltesubnnd 10181

Description: Subtracting an integer number from another number decreases it. See ltsubrpd 10141. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltesubnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ltesubnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ltesubnnd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem ltesubnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltesubnnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9774	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		1cnd 8343	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		ltesubnnd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 9321	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	addsubd 8660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) = ((𝑀 − 𝑁) + 1))
7	1	zred 9773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
8	4	nnrpd 10106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	7, 8	ltsubrpd 10141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) < 𝑀)
10	4	nnzd 9772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	zsubcld 9778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
12		zltp1le 9704	. . . 4 ⊢ (((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 𝑁) + 1) ≤ 𝑀))
13	11, 1, 12	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 𝑁) + 1) ≤ 𝑀))
14	9, 13	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 1) ≤ 𝑀)
15	6, 14	eqbrtrd 4152	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   ≤ cle 8362   − cmin 8499  ℕcn 9307  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-rp 10066

This theorem is used by:  ballotfilemsel1i  13307  ballotfilemsf1o  13308