Theorem zsubcld 9470

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9384	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   - cmin 8214   ZZcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  eluzsub  9648  uzm1  9649  uzsubsubfz  10139  fzm1  10192  eluzgtdifelfzo  10290  ubmelm1fzo  10319  intfracq  10429  modqsubdir  10502  modsumfzodifsn  10505  addmodlteq  10507  uzennn  10545  seq3f1olemqsumkj  10620  zesq  10767  bcval5  10872  hashfz  10930  seq3shft  11020  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemcvg  11201  fzomaxdiflem  11294  fsum0diaglem  11622  fisum0diag  11623  mptfzshft  11624  fsumrev  11625  fsumshft  11626  fisum0diag2  11629  geo2sum  11696  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratz  11714  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  fprodshft  11800  fprodrev  11801  fprod0diagfz  11810  eirraplem  11959  dvdsaddre2b  12023  fzocongeq  12040  3dvds  12046  modremain  12111  bitsfzolem  12136  bitsmod  12138  bitscmp  12140  bitsinv1lem  12143  bezoutlemnewy  12188  uzwodc  12229  cncongr1  12296  prmind2  12313  pw2dvds  12359  hashdvds  12414  phiprmpw  12415  crth  12417  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  prmdiveq  12429  modprm0  12448  pythagtriplem2  12460  pythagtriplem4  12462  pythagtriplem6  12464  pythagtriplem7  12465  pythagtriplem11  12468  pythagtriplem13  12470  pythagtriplem15  12472  pythagtriplem16  12473  pythagtrip  12477  pceu  12489  pcdiv  12496  pcqcl  12500  pcaddlem  12533  pcbc  12545  gzmulcl  12572  4sqlem5  12576  4sqlem8  12579  4sqlemffi  12590  4sqleminfi  12591  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  4sqlem14  12598  4sqlem16  12600  zndvds  14281  znf1o  14283  plymullem1  15068  mersenne  15317  lgsval  15329  lgsfvalg  15330  lgsmod  15351  lgsdirprm  15359  gausslemma2dlem0h  15381  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem1cl  15384  gausslemma2dlem3  15388  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5a  15390  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgsquadlem1  15402  2lgslem2  15417  2sqlem4  15443  2sqlem8  15448  nconstwlpolemgt0  15795