Theorem zsubcld 9723

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9635	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   - cmin 8460   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  eluzmn  9878  eluzsub  9902  uzm1  9903  ltesubnnd  10120  uzsubsubfz  10401  fzsplit3  10407  fzspl  10425  fzm1  10456  eluzgtdifelfzo  10564  ubmelm1fzo  10593  intfracq  10706  modqsubdir  10779  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  uzennn  10822  seq3f1olemqsumkj  10897  zesq  11045  bcval5  11150  hashfz  11211  ccatlen  11308  ccatval2  11311  ccatvalfn  11314  ccatsymb  11315  ccatalpha  11326  swrdval  11365  swrdclg  11367  swrdlen  11369  swrdfv2  11380  swrdwrdsymbg  11381  swrdspsleq  11384  ccatswrd  11387  pfxval  11391  fnpfx  11394  wrdind  11439  wrd2ind  11440  pfxccatin12  11450  swrdccat  11452  seq3shft  11548  resqrexlemnmsq  11727  resqrexlemcvg  11729  fzomaxdiflem  11822  fsum0diaglem  12151  fisum0diag  12152  mptfzshft  12153  fsumrev  12154  fsumshft  12155  fisum0diag2  12158  geo2sum  12225  cvgratnnlemabsle  12238  cvgratnnlemsumlt  12239  cvgratz  12243  mertenslemub  12245  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  mertensabs  12248  fprodshft  12329  fprodrev  12330  fprod0diagfz  12339  eirraplem  12488  dvdsaddre2b  12552  fzocongeq  12569  3dvds  12575  modremain  12640  bitsfzolem  12665  bitsmod  12667  bitscmp  12669  bitsinv1lem  12672  bezoutlemnewy  12717  uzwodc  12758  cncongr1  12825  prmind2  12842  pw2dvds  12888  hashdvds  12943  phiprmpw  12944  crth  12946  eulerthlemh  12953  eulerthlemth  12954  prmdiveq  12958  modprm0  12977  pythagtriplem2  12989  pythagtriplem4  12991  pythagtriplem6  12993  pythagtriplem7  12994  pythagtriplem11  12997  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem15  13001  pythagtriplem16  13002  pythagtrip  13006  pceu  13018  pcdiv  13025  pcqcl  13029  pcaddlem  13062  pcbc  13074  gzmulcl  13101  4sqlem5  13105  4sqlem8  13108  4sqlemffi  13119  4sqleminfi  13120  4sqlem11  13124  4sqlem12  13125  4sqlem14  13127  4sqlem16  13129  ballotfilemfval  13173  ballotfilemfelz  13174  ballotfilemfp1  13175  ballotfilemimin  13193  ballotfilemic  13194  ballotfilem1c  13195  ballotfilemsv  13197  ballotfilemsf1o  13201  ballotfilemgval  13211  ballotfilemfrceq  13216  ballotfilemfrcn0  13217  gsumshift  14105  gsumgfsum  14106  zndvds  14923  znf1o  14925  psrbagcon  14952  psrbagconf1o  14954  plymullem1  15739  mersenne  15991  lgsval  16003  lgsfvalg  16004  lgsmod  16025  lgsdirprm  16033  gausslemma2dlem0h  16055  gausslemma2dlem1a  16057  gausslemma2dlem1cl  16058  gausslemma2dlem3  16062  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgsquadlem1  16076  2lgslem2  16091  2sqlem4  16117  2sqlem8  16122  clwwlknonex2lem2  16559  nconstwlpolemgt0  16976