Theorem zsubcld 9651

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9564	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   - cmin 8392   ZZcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  eluzmn  9806  eluzsub  9830  uzm1  9831  uzsubsubfz  10327  fzm1  10380  eluzgtdifelfzo  10488  ubmelm1fzo  10517  intfracq  10628  modqsubdir  10701  modsumfzodifsn  10704  addmodlteq  10706  uzennn  10744  seq3f1olemqsumkj  10819  zesq  10966  bcval5  11071  hashfz  11131  ccatlen  11221  ccatval2  11224  ccatvalfn  11227  ccatsymb  11228  ccatalpha  11239  swrdval  11278  swrdclg  11280  swrdlen  11282  swrdfv2  11293  swrdwrdsymbg  11294  swrdspsleq  11297  ccatswrd  11300  pfxval  11304  fnpfx  11307  wrdind  11352  wrd2ind  11353  pfxccatin12  11363  swrdccat  11365  seq3shft  11461  resqrexlemnmsq  11640  resqrexlemcvg  11642  fzomaxdiflem  11735  fsum0diaglem  12064  fisum0diag  12065  mptfzshft  12066  fsumrev  12067  fsumshft  12068  fisum0diag2  12071  geo2sum  12138  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemsumlt  12152  cvgratz  12156  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  mertenslem2  12160  mertensabs  12161  fprodshft  12242  fprodrev  12243  fprod0diagfz  12252  eirraplem  12401  dvdsaddre2b  12465  fzocongeq  12482  3dvds  12488  modremain  12553  bitsfzolem  12578  bitsmod  12580  bitscmp  12582  bitsinv1lem  12585  bezoutlemnewy  12630  uzwodc  12671  cncongr1  12738  prmind2  12755  pw2dvds  12801  hashdvds  12856  phiprmpw  12857  crth  12859  eulerthlemh  12866  eulerthlemth  12867  prmdiveq  12871  modprm0  12890  pythagtriplem2  12902  pythagtriplem4  12904  pythagtriplem6  12906  pythagtriplem7  12907  pythagtriplem11  12910  pythagtriplem13  12912  pythagtriplem15  12914  pythagtriplem16  12915  pythagtrip  12919  pceu  12931  pcdiv  12938  pcqcl  12942  pcaddlem  12975  pcbc  12987  gzmulcl  13014  4sqlem5  13018  4sqlem8  13021  4sqlemffi  13032  4sqleminfi  13033  4sqlem11  13037  4sqlem12  13038  4sqlem14  13040  4sqlem16  13042  zndvds  14728  znf1o  14730  psrbagcon  14755  psrbagconf1o  14757  plymullem1  15542  mersenne  15794  lgsval  15806  lgsfvalg  15807  lgsmod  15828  lgsdirprm  15836  gausslemma2dlem0h  15858  gausslemma2dlem1a  15860  gausslemma2dlem1cl  15861  gausslemma2dlem3  15865  gausslemma2dlem4  15866  gausslemma2dlem5a  15867  lgseisenlem1  15872  lgseisenlem2  15873  lgsquadlem1  15879  2lgslem2  15894  2sqlem4  15920  2sqlem8  15925  clwwlknonex2lem2  16362  nconstwlpolemgt0  16780  gsumgfsumlem  16795  gsumgfsum  16796