Theorem zsubcld 9379

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9293	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   - cmin 8127   ZZcz 9252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253

This theorem is referenced by:  eluzsub  9556  uzm1  9557  uzsubsubfz  10046  fzm1  10099  eluzgtdifelfzo  10196  ubmelm1fzo  10225  intfracq  10319  modqsubdir  10392  modsumfzodifsn  10395  addmodlteq  10397  uzennn  10435  seq3f1olemqsumkj  10497  zesq  10638  bcval5  10742  hashfz  10800  seq3shft  10846  resqrexlemnmsq  11025  resqrexlemcvg  11027  fzomaxdiflem  11120  fsum0diaglem  11447  fisum0diag  11448  mptfzshft  11449  fsumrev  11450  fsumshft  11451  fisum0diag2  11454  geo2sum  11521  cvgratnnlemabsle  11534  cvgratnnlemsumlt  11535  cvgratz  11539  mertenslemub  11541  mertenslemi1  11542  mertenslem2  11543  mertensabs  11544  fprodshft  11625  fprodrev  11626  fprod0diagfz  11635  eirraplem  11783  dvdsaddre2b  11847  fzocongeq  11863  modremain  11933  bezoutlemnewy  11996  uzwodc  12037  cncongr1  12102  prmind2  12119  pw2dvds  12165  hashdvds  12220  phiprmpw  12221  crth  12223  eulerthlemh  12230  eulerthlemth  12231  prmdiveq  12235  modprm0  12253  pythagtriplem2  12265  pythagtriplem4  12267  pythagtriplem6  12269  pythagtriplem7  12270  pythagtriplem11  12273  pythagtriplem13  12275  pythagtriplem15  12277  pythagtriplem16  12278  pythagtrip  12282  pceu  12294  pcdiv  12301  pcqcl  12305  pcaddlem  12337  pcbc  12348  gzmulcl  12375  4sqlem5  12379  4sqlem8  12382  lgsval  14375  lgsfvalg  14376  lgsmod  14397  lgsdirprm  14405  lgseisenlem1  14420  lgseisenlem2  14421  2sqlem4  14435  2sqlem8  14440  nconstwlpolemgt0  14781