Theorem zsubcld 9380

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9294	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   - cmin 8128   ZZcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  eluzsub  9557  uzm1  9558  uzsubsubfz  10047  fzm1  10100  eluzgtdifelfzo  10197  ubmelm1fzo  10226  intfracq  10320  modqsubdir  10393  modsumfzodifsn  10396  addmodlteq  10398  uzennn  10436  seq3f1olemqsumkj  10498  zesq  10639  bcval5  10743  hashfz  10801  seq3shft  10847  resqrexlemnmsq  11026  resqrexlemcvg  11028  fzomaxdiflem  11121  fsum0diaglem  11448  fisum0diag  11449  mptfzshft  11450  fsumrev  11451  fsumshft  11452  fisum0diag2  11455  geo2sum  11522  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemsumlt  11536  cvgratz  11540  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  mertenslem2  11544  mertensabs  11545  fprodshft  11626  fprodrev  11627  fprod0diagfz  11636  eirraplem  11784  dvdsaddre2b  11848  fzocongeq  11864  modremain  11934  bezoutlemnewy  11997  uzwodc  12038  cncongr1  12103  prmind2  12120  pw2dvds  12166  hashdvds  12221  phiprmpw  12222  crth  12224  eulerthlemh  12231  eulerthlemth  12232  prmdiveq  12236  modprm0  12254  pythagtriplem2  12266  pythagtriplem4  12268  pythagtriplem6  12270  pythagtriplem7  12271  pythagtriplem11  12274  pythagtriplem13  12276  pythagtriplem15  12278  pythagtriplem16  12279  pythagtrip  12283  pceu  12295  pcdiv  12302  pcqcl  12306  pcaddlem  12338  pcbc  12349  gzmulcl  12376  4sqlem5  12380  4sqlem8  12383  lgsval  14408  lgsfvalg  14409  lgsmod  14430  lgsdirprm  14438  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  2sqlem4  14468  2sqlem8  14473  nconstwlpolemgt0  14814