Theorem zsubcld 9773

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9685	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   - cmin 8497   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  eluzmn  9928  eluzsub  9952  uzm1  9953  ltesubnnd  10170  uzsubsubfz  10452  fzsplit3  10458  fzspl  10476  fzm1  10507  eluzgtdifelfzo  10615  ubmelm1fzo  10644  intfracq  10757  modqsubdir  10830  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  uzennn  10873  seq3f1olemqsumkj  10948  zesq  11096  bcval5  11201  hashfz  11262  ccatlen  11363  ccatval2  11366  ccatvalfn  11369  ccatsymb  11370  ccatalpha  11381  swrdval  11420  swrdclg  11422  swrdlen  11424  swrdfv2  11435  swrdwrdsymbg  11436  swrdspsleq  11439  ccatswrd  11442  pfxval  11446  fnpfx  11449  wrdind  11494  wrd2ind  11495  pfxccatin12  11505  swrdccat  11507  seq3shft  11603  resqrexlemnmsq  11783  resqrexlemcvg  11785  fzomaxdiflem  11878  fsum0diaglem  12207  fisum0diag  12208  mptfzshft  12209  fsumrev  12210  fsumshft  12211  fisum0diag2  12214  geo2sum  12281  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratz  12299  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  fprodshft  12385  fprodrev  12386  fprod0diagfz  12395  eirraplem  12544  dvdsaddre2b  12608  fzocongeq  12625  3dvds  12631  modremain  12696  bitsfzolem  12721  bitsmod  12723  bitscmp  12725  bitsinv1lem  12728  bezoutlemnewy  12773  uzwodc  12814  cncongr1  12881  prmind2  12898  pw2dvds  12944  hashdvds  12999  phiprmpw  13000  crth  13002  eulerthlemh  13009  eulerthlemth  13010  prmdiveq  13014  modprm0  13033  pythagtriplem2  13045  pythagtriplem4  13047  pythagtriplem6  13049  pythagtriplem7  13050  pythagtriplem11  13053  pythagtriplem13  13055  pythagtriplem15  13057  pythagtriplem16  13058  pythagtrip  13062  pceu  13074  pcdiv  13081  pcqcl  13085  pcaddlem  13118  pcbc  13130  gzmulcl  13157  4sqlem5  13161  4sqlem8  13164  4sqlemffi  13175  4sqleminfi  13176  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  4sqlem14  13183  4sqlem16  13185  ballotfilemfval  13229  ballotfilemfelz  13230  ballotfilemfp1  13231  ballotfilemimin  13249  ballotfilemic  13250  ballotfilem1c  13251  ballotfilemsv  13253  ballotfilemsf1o  13257  ballotfilemgval  13267  ballotfilemfrceq  13272  ballotfilemfrcn0  13273  gzsumshift  14149  gzsumgsum  14155  zndvds  14984  znf1o  14986  psrbagcon  15062  psrbagconf1o  15064  plymullem1  15849  mersenne  16111  lgsval  16123  lgsfvalg  16124  lgsmod  16145  lgsdirprm  16153  gausslemma2dlem0h  16175  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem1cl  16178  gausslemma2dlem3  16182  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5a  16184  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgsquadlem1  16196  2lgslem2  16211  2sqlem4  16237  2sqlem8  16242  clwwlknonex2lem2  16679  nconstwlpolemgt0  17114