Theorem zsubcld 9668

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9581	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   - cmin 8409   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  eluzmn  9823  eluzsub  9847  uzm1  9848  uzsubsubfz  10344  fzm1  10397  eluzgtdifelfzo  10505  ubmelm1fzo  10534  intfracq  10645  modqsubdir  10718  modsumfzodifsn  10721  addmodlteq  10723  uzennn  10761  seq3f1olemqsumkj  10836  zesq  10983  bcval5  11088  hashfz  11148  ccatlen  11238  ccatval2  11241  ccatvalfn  11244  ccatsymb  11245  ccatalpha  11256  swrdval  11295  swrdclg  11297  swrdlen  11299  swrdfv2  11310  swrdwrdsymbg  11311  swrdspsleq  11314  ccatswrd  11317  pfxval  11321  fnpfx  11324  wrdind  11369  wrd2ind  11370  pfxccatin12  11380  swrdccat  11382  seq3shft  11478  resqrexlemnmsq  11657  resqrexlemcvg  11659  fzomaxdiflem  11752  fsum0diaglem  12081  fisum0diag  12082  mptfzshft  12083  fsumrev  12084  fsumshft  12085  fisum0diag2  12088  geo2sum  12155  cvgratnnlemabsle  12168  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratz  12173  mertenslemub  12175  mertenslemi1  12176  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  fprodshft  12259  fprodrev  12260  fprod0diagfz  12269  eirraplem  12418  dvdsaddre2b  12482  fzocongeq  12499  3dvds  12505  modremain  12570  bitsfzolem  12595  bitsmod  12597  bitscmp  12599  bitsinv1lem  12602  bezoutlemnewy  12647  uzwodc  12688  cncongr1  12755  prmind2  12772  pw2dvds  12818  hashdvds  12873  phiprmpw  12874  crth  12876  eulerthlemh  12883  eulerthlemth  12884  prmdiveq  12888  modprm0  12907  pythagtriplem2  12919  pythagtriplem4  12921  pythagtriplem6  12923  pythagtriplem7  12924  pythagtriplem11  12927  pythagtriplem13  12929  pythagtriplem15  12931  pythagtriplem16  12932  pythagtrip  12936  pceu  12948  pcdiv  12955  pcqcl  12959  pcaddlem  12992  pcbc  13004  gzmulcl  13031  4sqlem5  13035  4sqlem8  13038  4sqlemffi  13049  4sqleminfi  13050  4sqlem11  13054  4sqlem12  13055  4sqlem14  13057  4sqlem16  13059  zndvds  14745  znf1o  14747  psrbagcon  14772  psrbagconf1o  14774  plymullem1  15559  mersenne  15811  lgsval  15823  lgsfvalg  15824  lgsmod  15845  lgsdirprm  15853  gausslemma2dlem0h  15875  gausslemma2dlem1a  15877  gausslemma2dlem1cl  15878  gausslemma2dlem3  15882  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5a  15884  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgsquadlem1  15896  2lgslem2  15911  2sqlem4  15937  2sqlem8  15942  clwwlknonex2lem2  16379  nconstwlpolemgt0  16797  gsumgfsumlem  16812  gsumgfsum  16813