Theorem zsubcld 9382

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9296	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   - cmin 8130   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  eluzsub  9559  uzm1  9560  uzsubsubfz  10049  fzm1  10102  eluzgtdifelfzo  10199  ubmelm1fzo  10228  intfracq  10322  modqsubdir  10395  modsumfzodifsn  10398  addmodlteq  10400  uzennn  10438  seq3f1olemqsumkj  10500  zesq  10641  bcval5  10745  hashfz  10803  seq3shft  10849  resqrexlemnmsq  11028  resqrexlemcvg  11030  fzomaxdiflem  11123  fsum0diaglem  11450  fisum0diag  11451  mptfzshft  11452  fsumrev  11453  fsumshft  11454  fisum0diag2  11457  geo2sum  11524  cvgratnnlemabsle  11537  cvgratnnlemsumlt  11538  cvgratz  11542  mertenslemub  11544  mertenslemi1  11545  mertenslem2  11546  mertensabs  11547  fprodshft  11628  fprodrev  11629  fprod0diagfz  11638  eirraplem  11786  dvdsaddre2b  11850  fzocongeq  11866  modremain  11936  bezoutlemnewy  11999  uzwodc  12040  cncongr1  12105  prmind2  12122  pw2dvds  12168  hashdvds  12223  phiprmpw  12224  crth  12226  eulerthlemh  12233  eulerthlemth  12234  prmdiveq  12238  modprm0  12256  pythagtriplem2  12268  pythagtriplem4  12270  pythagtriplem6  12272  pythagtriplem7  12273  pythagtriplem11  12276  pythagtriplem13  12278  pythagtriplem15  12280  pythagtriplem16  12281  pythagtrip  12285  pceu  12297  pcdiv  12304  pcqcl  12308  pcaddlem  12340  pcbc  12351  gzmulcl  12378  4sqlem5  12382  4sqlem8  12385  lgsval  14490  lgsfvalg  14491  lgsmod  14512  lgsdirprm  14520  lgseisenlem1  14535  lgseisenlem2  14536  2sqlem4  14550  2sqlem8  14555  nconstwlpolemgt0  14897