Theorem zsubcld 9444

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zsubcl 9358	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   - cmin 8190   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  eluzsub  9622  uzm1  9623  uzsubsubfz  10113  fzm1  10166  eluzgtdifelfzo  10264  ubmelm1fzo  10293  intfracq  10391  modqsubdir  10464  modsumfzodifsn  10467  addmodlteq  10469  uzennn  10507  seq3f1olemqsumkj  10582  zesq  10729  bcval5  10834  hashfz  10892  seq3shft  10982  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemcvg  11163  fzomaxdiflem  11256  fsum0diaglem  11583  fisum0diag  11584  mptfzshft  11585  fsumrev  11586  fsumshft  11587  fisum0diag2  11590  geo2sum  11657  cvgratnnlemabsle  11670  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratz  11675  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  mertensabs  11680  fprodshft  11761  fprodrev  11762  fprod0diagfz  11771  eirraplem  11920  dvdsaddre2b  11984  fzocongeq  12000  modremain  12070  bezoutlemnewy  12133  uzwodc  12174  cncongr1  12241  prmind2  12258  pw2dvds  12304  hashdvds  12359  phiprmpw  12360  crth  12362  eulerthlemh  12369  eulerthlemth  12370  prmdiveq  12374  modprm0  12392  pythagtriplem2  12404  pythagtriplem4  12406  pythagtriplem6  12408  pythagtriplem7  12409  pythagtriplem11  12412  pythagtriplem13  12414  pythagtriplem15  12416  pythagtriplem16  12417  pythagtrip  12421  pceu  12433  pcdiv  12440  pcqcl  12444  pcaddlem  12477  pcbc  12489  gzmulcl  12516  4sqlem5  12520  4sqlem8  12523  4sqlemffi  12534  4sqleminfi  12535  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  4sqlem14  12542  4sqlem16  12544  zndvds  14137  znf1o  14139  plymullem1  14894  lgsval  15120  lgsfvalg  15121  lgsmod  15142  lgsdirprm  15150  gausslemma2dlem0h  15172  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1cl  15175  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgsquadlem1  15191  2sqlem4  15205  2sqlem8  15210  nconstwlpolemgt0  15554