Theorem nnrpd 10112

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnrp 10081	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-rp 10072

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  10113  ltesubnnd  10187  qtri3or  10692  qbtwnrelemcalc  10707  qbtwnre  10708  flqdiv  10779  addmodlteq  10856  nnesq  11118  bcpasc  11226  cvg1nlemcxze  11770  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  resqrexlemnmsq  11805  resqrexlemnm  11806  resqrexlemcvg  11807  climrecvg1n  12139  climcvg1nlem  12140  cvgratnnlembern  12315  cvgratnnlemfm  12321  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  efcllemp  12450  ege2le3  12463  eftlub  12482  effsumlt  12484  efgt1p2  12487  eirraplem  12569  bitsfzo  12747  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  prmind2  12923  isprm5lem  12945  sqrt2irrlem  12965  sqrt2irraplemnn  12984  sqrt2irrap  12985  modprmn0modprm0  13064  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem14  13085  pythagtriplem16  13087  4sqlem7  13192  4sqlem12  13210  logfac  16126  logbrec  16196  logbgcd1irr  16203  logbgcd1irraplemexp  16204  logbgcd1irraplemap  16205  zprmlogbaplem1  16215  zprmlogbaplem2  16216  log2tlbndlog2  16220  birthdaylem2  16226  chtqcl  16244  chtqval  16245  efchtqcl  16246  chtqge0  16247  sgmval  16252  sgmf  16255  sgmnncl  16257  chtprm  16261  chtdif  16264  efchtqdvds  16265  prmorcht  16282  sgmppw  16286  1sgmprm  16288  sgmmul  16290  chtqleppi  16294  chtublem  16295  perfectlem2  16300  bclbnd  16307  prmefexple  16308  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  bposlem7  16317  bposlem9  16319  lgseisenlem1  16394  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  2sqlem8  16447  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemlt1  17297