Theorem nnrpd 10111

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	|- ( ph -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnrp 10080	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A e. RR+ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   RR+crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-rp 10071

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  10112  ltesubnnd  10186  qtri3or  10691  qbtwnrelemcalc  10706  qbtwnre  10707  flqdiv  10778  addmodlteq  10855  nnesq  11117  bcpasc  11225  cvg1nlemcxze  11769  cvg1nlemcau  11771  cvg1nlemres  11772  resqrexlemnmsq  11804  resqrexlemnm  11805  resqrexlemcvg  11806  climrecvg1n  12138  climcvg1nlem  12139  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemfm  12320  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  efcllemp  12449  ege2le3  12462  eftlub  12481  effsumlt  12483  efgt1p2  12486  eirraplem  12568  bitsfzo  12746  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  prmind2  12922  isprm5lem  12944  sqrt2irrlem  12964  sqrt2irraplemnn  12983  sqrt2irrap  12984  modprmn0modprm0  13063  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem16  13086  4sqlem7  13191  4sqlem12  13209  logfac  16143  logbrec  16213  logbgcd1irr  16220  logbgcd1irraplemexp  16221  logbgcd1irraplemap  16222  zprmlogbaplem1  16232  zprmlogbaplem2  16233  log2tlbndlog2  16237  birthdaylem2  16243  chtqcl  16261  chtqval  16262  efchtqcl  16263  chtqge0  16264  sgmval  16269  sgmf  16272  sgmnncl  16274  chtprm  16278  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  prmorcht  16299  sgmppw  16303  1sgmprm  16305  sgmmul  16307  chtqleppi  16311  chtublem  16312  perfectlem2  16317  bclbnd  16324  prmefexple  16325  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem4  16331  bposlem5  16332  bposlem6  16333  bposlem7  16334  bposlem9  16336  lgseisenlem1  16411  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  2sqlem8  16464  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemlt1  17314