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Theorem ballotfilemsf1o 13201
Description: The defined S is a bijection, and an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotfilem.o |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn |- N < M
ballotth.i |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotfilemsf1o |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c
Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotfilemsf1o
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5 |- M e. NN
2 ballotth.n . . . . 5 |- N e. NN
3 ballotfilem.o . . . . 5 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4 ballotfilem.p . . . . 5 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
5 ballotth.f . . . . 5 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . 5 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . 5 |- N < M
8 ballotth.i . . . . 5 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s . . . . 5 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotfilemsval 13196 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotfilemsv 13197 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` i ) = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotfilemsdom 13199 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` i ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
1311, 12eqeltrrd 2312 . . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotfilemsv 13197 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotfilemsdom 13199 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
1614, 15eqeltrrd 2312 . . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
17 oveq2 6066 . . . . . 6 |- ( i = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) )
18 id 19 . . . . . 6 |- ( i = j -> i = j )
19 breq1 4117 . . . . . 6 |- ( i = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) -> ( i <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) <_ ( I ` C ) ) )
20 breq1 4117 . . . . . 6 |- ( i = j -> ( i <_ ( I ` C ) <-> j <_ ( I ` C ) ) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotfilemiex 13188 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
2221simpld 112 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23 elfzelz 10378 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
2423peano2zd 9721 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
2522, 24syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
2625zcnd 9719 . . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
2726adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
28 elfzelz 10378 . . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
2928zcnd 9719 . . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. CC )
3029ad2antll 491 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. CC )
3127, 30nncand 8605 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) = j )
3231eqcomd 2240 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) )
3322, 23syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
3433adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
35 elfznn 10409 . . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. NN )
3635ad2antll 491 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. NN )
3734, 36ltesubnnd 10120 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) <_ ( I ` C ) )
3837adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ j <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) <_ ( I ` C ) )
39 vex 2818 . . . . . . 7 |- j e. _V
4039a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. _V )
4125adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
4228ad2antll 491 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> j e. ZZ )
4341, 42zsubcld 9723 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) e. ZZ )
44 zdcle 9671 . . . . . . 7 |- ( ( j e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> DECID j <_ ( I ` C ) )
4542, 34, 44syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> DECID j <_ ( I ` C ) )
4617, 18, 19, 20, 32, 38, 40, 43, 45ifeqeqxdc 3673 . . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) -> j = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) )
47 oveq2 6066 . . . . . 6 |- ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) ) )
48 id 19 . . . . . 6 |- ( j = i -> j = i )
49 breq1 4117 . . . . . 6 |- ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) -> ( j <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) <_ ( I ` C ) ) )
50 breq1 4117 . . . . . 6 |- ( j = i -> ( j <_ ( I ` C ) <-> i <_ ( I ` C ) ) )
51 elfzelz 10378 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. ZZ )
5251zcnd 9719 . . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. CC )
5352ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i e. CC )
5427, 53nncand 8605 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) ) = i )
5554eqcomd 2240 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) ) )
5634adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
57 simplrl 537 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> i e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
58 elfznn 10409 . . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. NN )
5957, 58syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> i e. NN )
6056, 59ltesubnnd 10120 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ i <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) <_ ( I ` C ) )
61 vex 2818 . . . . . . 7 |- i e. _V
6261a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i e. _V )
6351ad2antrl 490 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> i e. ZZ )
6441, 63zsubcld 9723 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) e. ZZ )
65 zdcle 9671 . . . . . . 7 |- ( ( i e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> DECID i <_ ( I ` C ) )
6663, 34, 65syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> DECID i <_ ( I ` C ) )
6747, 48, 49, 50, 55, 60, 62, 64, 66ifeqeqxdc 3673 . . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) /\ j = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) -> i = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
6846, 67impbida 600 . . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) ) -> ( i = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) <-> j = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
6910, 13, 16, 68f1o3d 6271 . . 3 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) ) )
7069simpld 112 . 2 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) )
71 oveq2 6066 . . . . . 6 |- ( i = j -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
7220, 71, 18ifbieq12d 3653 . . . . 5 |- ( i = j -> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
7372cbvmptv 4211 . . . 4 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
7473a1i 9 . . 3 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) )
7569simprd 114 . . 3 |- ( C e. ( O \ E ) -> `' ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) )
7674, 10, 753eqtr4rd 2278 . 2 |- ( C e. ( O \ E ) -> `' ( S ` C ) = ( S ` C ) )
7770, 76jca 306 1 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   i^i cin 3213   ifcif 3624   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988  infcinf 7287   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ♯chash 11163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164
This theorem is referenced by:  ballotfilemsima  13203  ballotfilemscr  13206  ballotfilemrv  13207  ballotfilemro  13210  ballotfilemfrc  13214  ballotfilemrinv0  13220
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