ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltresr2 Unicode version

Theorem ltresr2 7857
Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltresr2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  ( 1st `  A )  <R  ( 1st `  B ) ) )

Proof of Theorem ltresr2
StepHypRef Expression
1 elreal2 7847 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  ( ( 1st `  A )  e. 
R.  /\  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  0R >. ) )
21simprbi 275 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  0R >. )
3 elreal2 7847 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  <->  ( ( 1st `  B )  e. 
R.  /\  B  =  <. ( 1st `  B
) ,  0R >. ) )
43simprbi 275 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =  <. ( 1st `  B
) ,  0R >. )
52, 4breqan12d 4034 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  <. ( 1st `  A ) ,  0R >. 
<RR  <. ( 1st `  B
) ,  0R >. ) )
6 ltresr 7856 . 2  |-  ( <.
( 1st `  A
) ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  B
) ,  0R >.  <->  ( 1st `  A )  <R 
( 1st `  B
) )
75, 6bitrdi 196 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  ( 1st `  A )  <R  ( 1st `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018   ` cfv 5231   1stc1st 6157   R.cnr 7314   0Rc0r 7315    <R cltr 7320   RRcr 7828    <RR cltrr 7833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323  df-lti 7324  df-plpq 7361  df-mpq 7362  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-plqqs 7366  df-mqqs 7367  df-1nqqs 7368  df-rq 7369  df-ltnqqs 7370  df-inp 7483  df-i1p 7484  df-enr 7743  df-nr 7744  df-ltr 7747  df-0r 7748  df-r 7839  df-lt 7842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator