Theorem ltresr2 7973

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( 1st ` A ) <R ( 1st ` B ) ) )

Proof of Theorem ltresr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal2 7963	. . . 4 |- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
2	1	simprbi 275	. . 3 |- ( A e. RR -> A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
3		elreal2 7963	. . . 4 |- ( B e. RR <-> ( ( 1st ` B ) e. R. /\ B = <. ( 1st ` B ) , 0R >. ) )
4	3	simprbi 275	. . 3 |- ( B e. RR -> B = <. ( 1st ` B ) , 0R >. )
5	2, 4	breqan12d 4067	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> <. ( 1st ` A ) , 0R >. <RR <. ( 1st ` B ) , 0R >. ) )
6		ltresr 7972	. 2 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. <RR <. ( 1st ` B ) , 0R >. <-> ( 1st ` A ) <R ( 1st ` B ) )
7	5, 6	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( 1st ` A ) <R ( 1st ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641   class class class wbr 4051   ` cfv 5280   1stc1st 6237   R.cnr 7430   0Rc0r 7431   <R cltr 7436   RRcr 7944   <RR cltrr 7949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-inp 7599  df-i1p 7600  df-enr 7859  df-nr 7860  df-ltr 7863  df-0r 7864  df-r 7955  df-lt 7958

This theorem is referenced by: (None)