Theorem elreal2 7771

Description: Ordered pair membership in the class of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elreal2	|- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Proof of Theorem elreal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7763	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2233	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		xp1st 6133	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 1st ` A ) e. R. )
4		1st2nd2 6143	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		xp2nd 6134	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) e. { 0R } )
6		elsni 3594	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` A ) e. { 0R } -> ( 2nd ` A ) = 0R )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) = 0R )
8	7	opeq2d 3765	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
9	4, 8	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
10	3, 9	jca 304	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
11		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) ) )
12		0r 7691	. . . . . . . 8 |- 0R e. R.
13	12	elexi 2738	. . . . . . 7 |- 0R e. _V
14	13	snid 3607	. . . . . 6 |- 0R e. { 0R }
15		opelxp 4634	. . . . . 6 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ 0R e. { 0R } ) )
16	14, 15	mpbiran2 931	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. )
17	11, 16	bitrdi 195	. . . 4 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. ) )
18	17	biimparc 297	. . 3 |- ( ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) -> A e. ( R. X. { 0R } ) )
19	10, 18	impbii 125	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
20	2, 19	bitri 183	1 |- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {csn 3576   <.cop 3579   X. cxp 4602   ` cfv 5188   1stc1st 6106   2ndc2nd 6107   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   RRcr 7752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-enr 7667  df-nr 7668  df-0r 7672  df-r 7763

This theorem is referenced by:  ltresr2  7781  axrnegex  7820  axpre-suploclemres  7842