Theorem elreal2 7914

Description: Ordered pair membership in the class of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elreal2	|- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Proof of Theorem elreal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7906	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2263	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		xp1st 6232	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 1st ` A ) e. R. )
4		1st2nd2 6242	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		xp2nd 6233	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) e. { 0R } )
6		elsni 3641	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` A ) e. { 0R } -> ( 2nd ` A ) = 0R )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) = 0R )
8	7	opeq2d 3816	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
9	4, 8	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
10	3, 9	jca 306	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
11		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) ) )
12		0r 7834	. . . . . . . 8 |- 0R e. R.
13	12	elexi 2775	. . . . . . 7 |- 0R e. _V
14	13	snid 3654	. . . . . 6 |- 0R e. { 0R }
15		opelxp 4694	. . . . . 6 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ 0R e. { 0R } ) )
16	14, 15	mpbiran2 943	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. )
17	11, 16	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. ) )
18	17	biimparc 299	. . 3 |- ( ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) -> A e. ( R. X. { 0R } ) )
19	10, 18	impbii 126	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
20	2, 19	bitri 184	1 |- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3623   <.cop 3626   X. cxp 4662   ` cfv 5259   1stc1st 6205   2ndc2nd 6206   R.cnr 7381   0Rc0r 7382   RRcr 7895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-enr 7810  df-nr 7811  df-0r 7815  df-r 7906

This theorem is referenced by:  ltresr2  7924  axrnegex  7963  axpre-suploclemres  7985