Theorem elreal2 7638

Description: Ordered pair membership in the class of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elreal2	|- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Proof of Theorem elreal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7630	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2206	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		xp1st 6063	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 1st ` A ) e. R. )
4		1st2nd2 6073	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		xp2nd 6064	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) e. { 0R } )
6		elsni 3545	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` A ) e. { 0R } -> ( 2nd ` A ) = 0R )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) = 0R )
8	7	opeq2d 3712	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
9	4, 8	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
10	3, 9	jca 304	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
11		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) ) )
12		0r 7558	. . . . . . . 8 |- 0R e. R.
13	12	elexi 2698	. . . . . . 7 |- 0R e. _V
14	13	snid 3556	. . . . . 6 |- 0R e. { 0R }
15		opelxp 4569	. . . . . 6 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ 0R e. { 0R } ) )
16	14, 15	mpbiran2 925	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. )
17	11, 16	syl6bb 195	. . . 4 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. ) )
18	17	biimparc 297	. . 3 |- ( ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) -> A e. ( R. X. { 0R } ) )
19	10, 18	impbii 125	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
20	2, 19	bitri 183	1 |- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   <.cop 3530   X. cxp 4537   ` cfv 5123   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   RRcr 7619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-enr 7534  df-nr 7535  df-0r 7539  df-r 7630

This theorem is referenced by:  ltresr2  7648  axrnegex  7687  axpre-suploclemres  7709