Theorem elreal2 7762

Description: Ordered pair membership in the class of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elreal2	|- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Proof of Theorem elreal2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7754	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2231	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		xp1st 6125	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 1st ` A ) e. R. )
4		1st2nd2 6135	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		xp2nd 6126	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) e. { 0R } )
6		elsni 3588	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` A ) e. { 0R } -> ( 2nd ` A ) = 0R )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( 2nd ` A ) = 0R )
8	7	opeq2d 3759	. . . . 5 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
9	4, 8	eqtrd 2197	. . . 4 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. )
10	3, 9	jca 304	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) -> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
11		eleq1 2227	. . . . 5 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) ) )
12		0r 7682	. . . . . . . 8 |- 0R e. R.
13	12	elexi 2733	. . . . . . 7 |- 0R e. _V
14	13	snid 3601	. . . . . 6 |- 0R e. { 0R }
15		opelxp 4628	. . . . . 6 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ 0R e. { 0R } ) )
16	14, 15	mpbiran2 930	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` A ) , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. )
17	11, 16	bitrdi 195	. . . 4 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. -> ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( 1st ` A ) e. R. ) )
18	17	biimparc 297	. . 3 |- ( ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) -> A e. ( R. X. { 0R } ) )
19	10, 18	impbii 125	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )
20	2, 19	bitri 183	1 |- ( A e. RR <-> ( ( 1st ` A ) e. R. /\ A = <. ( 1st ` A ) , 0R >. ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   {csn 3570   <.cop 3573   X. cxp 4596   ` cfv 5182   1stc1st 6098   2ndc2nd 6099   R.cnr 7229   0Rc0r 7230   RRcr 7743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-eprel 4261  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-er 6492  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-pli 7237  df-mi 7238  df-lti 7239  df-plpq 7276  df-mpq 7277  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-plqqs 7281  df-mqqs 7282  df-1nqqs 7283  df-rq 7284  df-ltnqqs 7285  df-inp 7398  df-i1p 7399  df-enr 7658  df-nr 7659  df-0r 7663  df-r 7754

This theorem is referenced by:  ltresr2  7772  axrnegex  7811  axpre-suploclemres  7833