Theorem mplelbascoe 15085

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval.b	|- B = ( Base ` S )
mplval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplbas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplelbascoe	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, k, I   R, a, b, k   X, a, b

Allowed substitution hints:   B( k, a, b)   P( k, a, b)   S( k, a, b)   U( k, a, b)   V( k, a, b)   W( k, a, b)   X( k)   .0. ( k, a, b)

Proof of Theorem mplelbascoe

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplval.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
4		mplval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		mplbas.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbascoe 15084	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )
7	6	eleq2d 2308	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } ) )
8		fveq1 5694	. . . . . 6 |- ( f = X -> ( f ` b ) = ( X ` b ) )
9	8	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( f = X -> ( ( f ` b ) = .0. <-> ( X ` b ) = .0. ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( f = X -> ( ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
11	10	rexralbidv 2576	. . 3 |- ( f = X -> ( E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
12	11	elrab 2982	. 2 |- ( X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
13	7, 12	bitrdi 196	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   < clt 8360   NN0cn0 9565   Basecbs 13354   0gc0g 13612   mPwSer cmps 15047   mPoly cmpl 15048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-tset 13452  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-psr 15049  df-mplcoe 15050

This theorem is used by:  mplsubgfilemm  15091  mplsubgfilemcl  15092  mplsubgfileminv  15093