Theorem mplelbascoe 14677

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval.b	|- B = ( Base ` S )
mplval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplbas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplelbascoe	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, k, I   R, a, b, k   X, a, b

Allowed substitution hints:   B( k, a, b)   P( k, a, b)   S( k, a, b)   U( k, a, b)   V( k, a, b)   W( k, a, b)   X( k)   .0. ( k, a, b)

Proof of Theorem mplelbascoe

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplval.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
4		mplval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		mplbas.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbascoe 14676	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )
7	6	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } ) )
8		fveq1 5631	. . . . . 6 |- ( f = X -> ( f ` b ) = ( X ` b ) )
9	8	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( f = X -> ( ( f ` b ) = .0. <-> ( X ` b ) = .0. ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( f = X -> ( ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
11	10	rexralbidv 2556	. . 3 |- ( f = X -> ( E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
12	11	elrab 2959	. 2 |- ( X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
13	7, 12	bitrdi 196	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   < clt 8197   NN0cn0 9385   Basecbs 13053   0gc0g 13310   mPwSer cmps 14646   mPoly cmpl 14647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-i2m1 8120

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-psr 14648  df-mplcoe 14649

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemm  14683  mplsubgfilemcl  14684  mplsubgfileminv  14685