Theorem mplelbascoe 14621

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval.b	|- B = ( Base ` S )
mplval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplbas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplelbascoe	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, k, I   R, a, b, k   X, a, b

Allowed substitution hints:   B( k, a, b)   P( k, a, b)   S( k, a, b)   U( k, a, b)   V( k, a, b)   W( k, a, b)   X( k)   .0. ( k, a, b)

Proof of Theorem mplelbascoe

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplval.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
4		mplval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		mplbas.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbascoe 14620	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )
7	6	eleq2d 2279	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } ) )
8		fveq1 5602	. . . . . 6 |- ( f = X -> ( f ` b ) = ( X ` b ) )
9	8	eqeq1d 2218	. . . . 5 |- ( f = X -> ( ( f ` b ) = .0. <-> ( X ` b ) = .0. ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( f = X -> ( ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
11	10	rexralbidv 2536	. . 3 |- ( f = X -> ( E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
12	11	elrab 2939	. 2 |- ( X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
13	7, 12	bitrdi 196	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   E.wrex 2489   {crab 2492   class class class wbr 4062   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765   < clt 8149   NN0cn0 9337   Basecbs 12998   0gc0g 13255   mPwSer cmps 14590   mPoly cmpl 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-i2m1 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-tset 13095  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-psr 14592  df-mplcoe 14593

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemm  14627  mplsubgfilemcl  14628  mplsubgfileminv  14629