Theorem mplelbascoe 14735

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval.b	|- B = ( Base ` S )
mplval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplbas.u	|- U = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
mplelbascoe	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, k, I   R, a, b, k   X, a, b

Allowed substitution hints:   B( k, a, b)   P( k, a, b)   S( k, a, b)   U( k, a, b)   V( k, a, b)   W( k, a, b)   X( k)   .0. ( k, a, b)

Proof of Theorem mplelbascoe

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval.p	. . . 4 |- P = ( I mPoly R )
2		mplval.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		mplval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
4		mplval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5		mplbas.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbascoe 14734	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } )
7	6	eleq2d 2300	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } ) )
8		fveq1 5641	. . . . . 6 |- ( f = X -> ( f ` b ) = ( X ` b ) )
9	8	eqeq1d 2239	. . . . 5 |- ( f = X -> ( ( f ` b ) = .0. <-> ( X ` b ) = .0. ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( f = X -> ( ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
11	10	rexralbidv 2557	. . 3 |- ( f = X -> ( E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) <-> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
12	11	elrab 2961	. 2 |- ( X e. { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = .0. ) } <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) )
13	7, 12	bitrdi 196	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( X e. U <-> ( X e. B /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( X ` b ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2513   class class class wbr 4089   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   < clt 8219   NN0cn0 9407   Basecbs 13105   0gc0g 13362   mPwSer cmps 14699   mPoly cmpl 14700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-i2m1 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-tset 13202  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-psr 14701  df-mplcoe 14702

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemm  14741  mplsubgfilemcl  14742  mplsubgfileminv  14743